Номер 1.88, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.88, страница 44.

Условие.

1.88 a) $y = \sqrt{x + 4} - \sqrt{x};$

б) $y = \sqrt{x} - \sqrt{x + 9}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = \sqrt{x+4 - \sqrt{x}}$

Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x+4 - \sqrt{x} \ge 0 \end{cases}$

Первое неравенство $x \ge 0$ уже задает условие для внутреннего корня.

Рассмотрим второе неравенство: $x+4 - \sqrt{x} \ge 0$.

Перенесем $\sqrt{x}$ в правую часть: $x+4 \ge \sqrt{x}$.

Так как из первого неравенства мы знаем, что $x \ge 0$, то левая часть $x+4$ заведомо положительна, а правая часть $\sqrt{x}$ неотрицательна. Следовательно, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(x+4)^2 \ge (\sqrt{x})^2$

$x^2 + 8x + 16 \ge x$

$x^2 + 7x + 16 \ge 0$

Чтобы решить это квадратичное неравенство, рассмотрим соответствующую функцию $f(x) = x^2 + 7x + 16$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее корни, вычислив дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 49 - 64 = -15$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), квадратичный трехчлен $x^2 + 7x + 16$ положителен при любых действительных значениях $x$.

Таким образом, второе неравенство $x+4 - \sqrt{x} \ge 0$ выполняется для всех $x$, для которых определен $\sqrt{x}$, то есть для всех $x \ge 0$.

Объединяя решения обоих неравенств системы, получаем, что область определения функции задается условием $x \ge 0$.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{x - \sqrt{x+9}}$

Область определения функции находится из системы неравенств, обеспечивающих неотрицательность подкоренных выражений:

$\begin{cases} x+9 \ge 0 \\ x - \sqrt{x+9} \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем: $x \ge -9$.

Рассмотрим второе неравенство: $x - \sqrt{x+9} \ge 0$, или $x \ge \sqrt{x+9}$.

Поскольку правая часть $\sqrt{x+9}$ является неотрицательной, левая часть $x$ также должна быть неотрицательной, чтобы неравенство имело решение. Таким образом, получаем дополнительное условие: $x \ge 0$.

Объединяя условия $x \ge -9$ и $x \ge 0$, получаем более сильное ограничение: $x \ge 0$.

При условии $x \ge 0$ обе части неравенства $x \ge \sqrt{x+9}$ неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$x^2 \ge (\sqrt{x+9})^2$

$x^2 \ge x+9$

$x^2 - x - 9 \ge 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 9 = 0$ по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+36}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{2}$.

Парабола $f(x) = x^2 - x - 9$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 9 \ge 0$ выполняется при $x \le \frac{1 - \sqrt{37}}{2}$ или $x \ge \frac{1 + \sqrt{37}}{2}$.

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ранее установленным условием $x \ge 0$.

1. $x \le \frac{1 - \sqrt{37}}{2}$. Так как $\sqrt{37} > \sqrt{1} = 1$, то $\frac{1 - \sqrt{37}}{2} < 0$. Этот интервал не пересекается с $x \ge 0$.

2. $x \ge \frac{1 + \sqrt{37}}{2}$. Так как $\frac{1 + \sqrt{37}}{2} > 0$, пересечение этого множества с $x \ge 0$ есть $x \ge \frac{1 + \sqrt{37}}{2}$.

Следовательно, область определения исходной функции — это промежуток, удовлетворяющий всем условиям.

Ответ: $x \in [\frac{1 + \sqrt{37}}{2}; +\infty)$.