Номер 2.3, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.3, страница 49.

Условие.

2.3 Объясните, почему верно равенство:

а) $\lim_{x \to 1} \frac{1}{|x - 1|} = +\infty;$

б) $\lim_{x \to -1} \frac{-1}{(x + 1)^2} = -\infty;$

в) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x - 2)^3} = \infty;$

г) $\lim_{x \to -2} \frac{-3}{x + 2} = \infty.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\lim_{x \to 1} \frac{1}{|x - 1|} = +\infty$

Рассмотрим поведение функции при $x$, стремящемся к 1. Знаменатель дроби, $|x - 1|$, представляет собой расстояние от точки $x$ до точки 1 на числовой оси. Когда $x$ стремится к 1 (как слева, так и справа), это расстояние стремится к нулю. Важно, что из-за модуля значение $|x - 1|$ всегда неотрицательно. Для $x \ne 1$, значение $|x - 1|$ всегда строго положительно. Таким образом, при $x \to 1$, знаменатель $|x - 1|$ стремится к нулю, оставаясь при этом положительным. Математически это записывается как $|x - 1| \to 0^+$. Числитель дроби — это константа 1 (положительное число). В результате мы имеем отношение постоянного положительного числа к бесконечно малой положительной величине. Такое отношение является бесконечно большой положительной величиной. Символически: $\lim_{x \to 1} \frac{1}{|x - 1|} = \frac{1}{0^+} = +\infty$. Равенство верно.

Ответ: Равенство верно, так как при $x \to 1$ числитель равен 1, а знаменатель $|x - 1|$ является положительной бесконечно малой величиной.

б) $\lim_{x \to -1} \frac{-1}{(x + 1)^2} = -\infty$

Рассмотрим предел функции при $x$, стремящемся к -1. Знаменатель дроби — это $(x + 1)^2$. Когда $x \to -1$, выражение $(x + 1)$ стремится к 0. Поскольку выражение $(x + 1)$ возводится в квадрат, результат $(x + 1)^2$ всегда неотрицателен. Для любого $x \ne -1$, значение $(x + 1)^2$ будет строго положительным. Следовательно, при $x \to -1$, знаменатель $(x + 1)^2$ стремится к нулю, оставаясь положительным. То есть, $(x + 1)^2 \to 0^+$. Числитель дроби — это константа -1 (отрицательное число). Мы получаем отношение постоянного отрицательного числа к бесконечно малой положительной величине. Такое отношение является бесконечно большой отрицательной величиной. Символически: $\lim_{x \to -1} \frac{-1}{(x + 1)^2} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$. Равенство верно.

Ответ: Равенство верно, так как при $x \to -1$ числитель равен -1, а знаменатель $(x + 1)^2$ является положительной бесконечно малой величиной.

в) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x - 2)^3} = \infty$

В данном случае предел является двусторонним, и поведение функции может зависеть от того, с какой стороны $x$ приближается к 2. Поэтому необходимо рассмотреть односторонние пределы.
1. Предел справа ($x \to 2^+$): $x$ приближается к 2, оставаясь больше 2 (например, $x=2.001$). В этом случае разность $(x - 2)$ является малой положительной величиной ($x - 2 \to 0^+$). Возведение в куб сохраняет знак, поэтому $(x - 2)^3$ также является малой положительной величиной ($(x - 2)^3 \to 0^+$). Тогда предел справа равен: $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{(x - 2)^3} = \frac{1}{0^+} = +\infty$.
2. Предел слева ($x \to 2^-$): $x$ приближается к 2, оставаясь меньше 2 (например, $x=1.999$). В этом случае разность $(x - 2)$ является малой отрицательной величиной ($x - 2 \to 0^-$). Возведение в куб сохраняет знак, поэтому $(x - 2)^3$ также является малой отрицательной величиной ($(x - 2)^3 \to 0^-$). Тогда предел слева равен: $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{(x - 2)^3} = \frac{1}{0^-} = -\infty$.
Поскольку односторонние пределы не равны ($\lim_{x \to 2^-} f(x) \ne \lim_{x \to 2^+} f(x)$), двусторонний предел в строгом смысле не существует. Однако в некоторых контекстах, если абсолютное значение функции стремится к бесконечности ($|f(x)| \to +\infty$), говорят, что предел равен бесконечности (без знака). В данном случае, так как пределы слева и справа равны $-\infty$ и $+\infty$, модуль функции в обоих случаях стремится к $+\infty$. Запись $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x - 2)^3} = \infty$ означает именно этот случай.

Ответ: Равенство верно в смысле бесконечности без знака, так как односторонние пределы равны $+\infty$ (справа) и $-\infty$ (слева), что означает, что абсолютное значение функции неограниченно возрастает при $x \to 2$.

г) $\lim_{x \to -2} \frac{-3}{x + 2} = \infty$

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим односторонние пределы, так как знаменатель $x + 2$ меняет знак в окрестности точки $x = -2$.
1. Предел справа ($x \to -2^+$): $x$ приближается к -2, оставаясь больше -2 (например, $x=-1.999$). В этом случае сумма $(x + 2)$ является малой положительной величиной ($x + 2 \to 0^+$). Числитель равен -3. Тогда предел справа равен: $\lim_{x \to -2^+} \frac{-3}{x + 2} = \frac{-3}{0^+} = -\infty$.
2. Предел слева ($x \to -2^-$): $x$ приближается к -2, оставаясь меньше -2 (например, $x=-2.001$). В этом случае сумма $(x + 2)$ является малой отрицательной величиной ($x + 2 \to 0^-$). Числитель равен -3. Тогда предел слева равен: $\lim_{x \to -2^-} \frac{-3}{x + 2} = \frac{-3}{0^-} = +\infty$.
Односторонние пределы различны. Предел справа равен $-\infty$, а предел слева равен $+\infty$. Как и в пункте (в), равенство $\lim_{x \to -2} \frac{-3}{x + 2} = \infty$ следует понимать в том смысле, что предел не существует как конечное число или как $+\infty$ или $-\infty$, но абсолютное значение функции стремится к бесконечности. То есть, $|\frac{-3}{x+2}| \to +\infty$ при $x \to -2$.

Ответ: Равенство верно в смысле бесконечности без знака, так как односторонние пределы равны $-\infty$ (справа) и $+\infty$ (слева), и, следовательно, абсолютное значение функции неограниченно возрастает при $x \to -2$.