Номер 2.2, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.2, страница 49.

Условие.

2.2 Объясните, что означает запись:

а) $\lim_{x \to +\infty} \left(2 + \frac{1}{x}\right) = 2;$

б) $\lim_{x \to -3} x^2 = 9;$

в) $\lim_{x \to 5} \frac{1}{|x - 5|} = +\infty;$

г) $\lim_{x \to 5} \frac{1}{x - 5} = \infty.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Запись $ \lim_{x \to +\infty} \left(2 + \frac{1}{x}\right) = 2 $ означает, что при неограниченном возрастании переменной $x$ (когда $x$ стремится к плюс бесконечности), значения функции $f(x) = 2 + \frac{1}{x}$ становятся сколь угодно близкими к числу 2.

Геометрически это означает, что график функции $y = 2 + \frac{1}{x}$ имеет горизонтальную асимптоту $y = 2$ при $x \to +\infty$.

На формальном языке (определение предела функции при $x \to +\infty$): для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon > 0$ можно найти такое положительное число $M$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $x > M$, будет выполняться неравенство:

$ \left|\left(2 + \frac{1}{x}\right) - 2\right| < \epsilon $

Это неравенство равносильно $| \frac{1}{x} | < \epsilon$, или, так как $x > 0$, $x > \frac{1}{\epsilon}$. Таким образом, в качестве $M$ можно взять $\frac{1}{\epsilon}$.

Ответ: Данная запись означает, что значения функции $f(x) = 2 + \frac{1}{x}$ можно сделать сколь угодно близкими к 2, выбирая достаточно большие положительные значения $x$.

б) Запись $ \lim_{x \to -3} x^2 = 9 $ означает, что когда переменная $x$ стремится к числу -3 (приближаясь к нему как слева, так и справа), значения функции $f(x) = x^2$ становятся сколь угодно близкими к числу 9.

На формальном языке (определение предела функции в точке по Коши): для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon > 0$ существует такое положительное число $\delta > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - (-3)| < \delta$ (то есть $0 < |x + 3| < \delta$), будет выполняться неравенство:

$ |x^2 - 9| < \epsilon $

Это показывает, что мы можем заставить значение функции $x^2$ находиться в любой сколь угодно малой окрестности точки 9, выбирая значения $x$ из достаточно малой проколотой окрестности точки -3.

Ответ: Данная запись означает, что значения функции $f(x) = x^2$ можно сделать сколь угодно близкими к 9, выбирая значения $x$ достаточно близкими к -3.

в) Запись $ \lim_{x \to 5} \frac{1}{|x - 5|} = +\infty $ означает, что функция $f(x) = \frac{1}{|x - 5|}$ является бесконечно большой при $x \to 5$. Когда переменная $x$ стремится к 5 (как слева, так и справа), знаменатель $|x-5|$ стремится к нулю, оставаясь при этом положительным. В результате значение дроби неограниченно возрастает.

На формальном языке (определение бесконечного предела): для любого сколь угодно большого положительного числа $M > 0$ существует такое положительное число $\delta > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - 5| < \delta$, будет выполняться неравенство:

$ \frac{1}{|x - 5|} > M $

Из этого неравенства следует, что $|x - 5| < \frac{1}{M}$, то есть в качестве $\delta$ можно взять $\frac{1}{M}$. Геометрически это означает, что график функции $y = \frac{1}{|x-5|}$ имеет вертикальную асимптоту $x=5$.

Ответ: Данная запись означает, что значения функции $f(x) = \frac{1}{|x - 5|}$ можно сделать сколь угодно большими, выбирая значения $x$ достаточно близкими к 5.

г) Запись $ \lim_{x \to 5} \frac{1}{x - 5} = \infty $ (без знака) часто используется для обозначения того, что предел не существует в обычном смысле, но абсолютное значение функции неограниченно возрастает. В данном случае необходимо рассматривать односторонние пределы.

1. Предел справа: когда $x$ стремится к 5, оставаясь больше 5 ($x \to 5+$), знаменатель $x-5$ является малым положительным числом. Следовательно, $ \lim_{x \to 5+} \frac{1}{x - 5} = +\infty $.

2. Предел слева: когда $x$ стремится к 5, оставаясь меньше 5 ($x \to 5-$), знаменатель $x-5$ является малым отрицательным числом. Следовательно, $ \lim_{x \to 5-} \frac{1}{x - 5} = -\infty $.

Поскольку односторонние пределы не равны (и не являются конечными числами), двусторонний предел в точке $x=5$ не существует. Запись `... = ∞` означает, что функция является бесконечно большой (без указания знака).

На формальном языке это означает: для любого сколь угодно большого положительного числа $M > 0$ существует такое положительное число $\delta > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - 5| < \delta$, будет выполняться неравенство:

$ \left|\frac{1}{x - 5}\right| > M $

Ответ: Данная запись означает, что двусторонний предел функции в точке $x=5$ не существует, но при приближении $x$ к 5 абсолютное значение функции $|f(x)| = |\frac{1}{x-5}|$ неограниченно возрастает (стремится к $+\infty$).