Номер 2.7, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.7, страница 54.

Условие.

2.7 a) $f(x) = \frac{1}{x+2}, a = -2;$

б) $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}, a = 2;$

В) $f(x) = \frac{-3}{(x-1)^4}, a = 1;$

Г) $f(x) = \frac{1}{2^x-1}, a = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x+2}$ и точка $a = -2$.
Точка $a = -2$ не входит в область определения функции, так как при $x = -2$ знаменатель дроби обращается в ноль. Следовательно, в этой точке функция имеет разрыв.
Для того чтобы определить тип разрыва, найдем односторонние пределы в точке $a = -2$.
Левосторонний предел: $ \lim_{x \to -2^-} \frac{1}{x+2} = -\infty $, так как при $x \to -2^-$ знаменатель $x+2$ стремится к нулю, оставаясь отрицательным ($x < -2$).
Правосторонний предел: $ \lim_{x \to -2^+} \frac{1}{x+2} = +\infty $, так как при $x \to -2^+$ знаменатель $x+2$ стремится к нулю, оставаясь положительным ($x > -2$).
Поскольку односторонние пределы в точке $a = -2$ бесконечны, то это точка разрыва второго рода.
Ответ: $a = -2$ — точка разрыва второго рода.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$ и точка $a = 2$.
Функция не определена в точке $a = 2$, так как при этом значении $x$ знаменатель обращается в ноль. Значит, в точке $a = 2$ функция имеет разрыв.
Определим тип разрыва, вычислив односторонние пределы.
Левосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty $, так как при $x \to 2^-$ выражение $x-2$ стремится к нулю, оставаясь отрицательным, а его квадрат $(x-2)^2$ стремится к нулю, оставаясь положительным.
Правосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty $, так как при $x \to 2^+$ выражение $x-2$ стремится к нулю, оставаясь положительным, и его квадрат $(x-2)^2$ также стремится к нулю, оставаясь положительным.
Так как оба односторонних предела равны бесконечности, точка $a = 2$ является точкой разрыва второго рода.
Ответ: $a = 2$ — точка разрыва второго рода.

в) Дана функция $f(x) = \frac{-3}{(x-1)^4}$ и точка $a = 1$.
В точке $a = 1$ функция не определена, поскольку знаменатель $(x-1)^4$ становится равным нулю. Это точка разрыва.
Найдем односторонние пределы для классификации разрыва.
Левосторонний предел: $ \lim_{x \to 1^-} \frac{-3}{(x-1)^4} = -\infty $, так как при $x \to 1^-$ знаменатель $(x-1)^4$ является бесконечно малой положительной величиной, а числитель отрицателен.
Правосторонний предел: $ \lim_{x \to 1^+} \frac{-3}{(x-1)^4} = -\infty $, так как при $x \to 1^+$ знаменатель $(x-1)^4$ также является бесконечно малой положительной величиной.
Оба односторонних предела равны $-\infty$, следовательно, точка $a = 1$ является точкой разрыва второго рода.
Ответ: $a = 1$ — точка разрыва второго рода.

г) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2^x - 1}$ и точка $a = 0$.
Точка $a = 0$ не принадлежит области определения функции, так как знаменатель $2^x - 1$ при $x=0$ равен $2^0 - 1 = 1 - 1 = 0$. Следовательно, $x=0$ — точка разрыва.
Исследуем поведение функции в окрестности этой точки с помощью односторонних пределов.
Левосторонний предел: $ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{2^x - 1} = -\infty $. При $x \to 0^-$, имеем $x < 0$, поэтому $2^x < 2^0 = 1$, и знаменатель $2^x - 1$ стремится к нулю, оставаясь отрицательным.
Правосторонний предел: $ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2^x - 1} = +\infty $. При $x \to 0^+$, имеем $x > 0$, поэтому $2^x > 2^0 = 1$, и знаменатель $2^x - 1$ стремится к нулю, оставаясь положительным.
Поскольку односторонние пределы бесконечны, точка $a = 0$ является точкой разрыва второго рода.
Ответ: $a = 0$ — точка разрыва второго рода.