Номер 2.9, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.9, страница 54.

Условие.

Найдите предел функции $y = f(x)$ при $x \to a$, используя понятия левого и правого пределов, если (2.9–2.10):

2.9 a) $f(x) = -x^5$, $a = 0$;

б) $f(x) = x^4$, $a = 1$;

в) $f(x) = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$, $a = \frac{\pi}{6}$;

г) $f(x) = \cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$, $a = \frac{\pi}{3}$.

$y$

$1$

$y = \sin \frac{1}{x}$

$-\frac{2}{\pi}$

$-\frac{1}{\pi}$

$-\frac{2}{3\pi}$

$-\frac{1}{2\pi}$

$O$

$\frac{1}{2\pi}$

$\frac{1}{\pi}$

$\frac{2}{\pi}$

$x$

$-1$

Рис. 64

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $f(x) = -x^5$, $a = 0$

Для нахождения предела функции воспользуемся понятием односторонних пределов. Предел существует, если левый и правый пределы в точке существуют и равны между собой. Все рассматриваемые функции являются непрерывными в указанных точках, поэтому их предел равен значению функции в этой точке.

Найдем левый предел (при $x \to 0-$):

$\lim_{x \to 0-} (-x^5) = - (0-)^5 = 0$.

Найдем правый предел (при $x \to 0+$):

$\lim_{x \to 0+} (-x^5) = - (0+)^5 = 0$.

Так как левый предел равен правому пределу ($0=0$), то предел функции в точке $a=0$ существует и равен их общему значению.

Ответ: $0$.

б) $f(x) = x^4$, $a = 1$

Функция $f(x) = x^4$ является непрерывной на всей числовой оси. Найдем ее односторонние пределы в точке $a=1$.

Левый предел: $\lim_{x \to 1-} x^4 = 1^4 = 1$.

Правый предел: $\lim_{x \to 1+} x^4 = 1^4 = 1$.

Поскольку односторонние пределы равны, предел функции $\lim_{x \to 1} x^4$ существует и равен 1.

Ответ: $1$.

в) $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{3})$, $a = \frac{\pi}{6}$

Функция $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{3})$ является непрерывной, так как является композицией непрерывных функций. Найдем односторонние пределы.

Левый предел: $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}-} \sin(x + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi + 2\pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Правый предел: $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}+} \sin(x + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Односторонние пределы равны, следовательно, предел функции $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \sin(x + \frac{\pi}{3})$ существует и равен 1.

Ответ: $1$.

г) $f(x) = \cos(x - \frac{\pi}{6})$, $a = \frac{\pi}{3}$

Функция $f(x) = \cos(x - \frac{\pi}{6})$ является непрерывной на всей числовой прямой. Найдем ее односторонние пределы в точке $a=\frac{\pi}{3}$.

Левый предел: $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}-} \cos(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{2\pi - \pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Правый предел: $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}+} \cos(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как левый и правый пределы равны, предел функции $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \cos(x - \frac{\pi}{6})$ существует и равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.