Номер 2.10, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.10, страница 56.

Условие.

2.10 а) $f(x) = \frac{1}{(x - 2)^2}$, $a = 2$;

б) $f(x) = \frac{-1}{|x - 1|}$, $a = 1$;

в) $f(x) = |\operatorname{tg} x|$, $a = \frac{\pi}{2}$;

г) $f(x) = |\operatorname{ctg} x|$, $a = \pi$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исследуем функцию $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$ на непрерывность в точке $a = 2$.

Значение функции в точке $a=2$ не определено, так как знаменатель дроби $(2-2)^2 = 0$. Следовательно, в точке $x=2$ функция имеет разрыв. Для определения типа разрыва найдем односторонние пределы.

Левосторонний предел: $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{(x-2)^2}$. Когда $x$ стремится к 2 слева, выражение $(x-2)$ стремится к 0, оставаясь отрицательным, а $(x-2)^2$ стремится к 0, оставаясь положительным. Таким образом, $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{(x-2)^2}$. Когда $x$ стремится к 2 справа, выражение $(x-2)$ стремится к 0, оставаясь положительным, и $(x-2)^2$ также стремится к 0, оставаясь положительным. Таким образом, $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty$.

Так как односторонние пределы в точке $a=2$ бесконечны, то в этой точке функция имеет разрыв второго рода.

Ответ: $x=2$ — точка разрыва второго рода.

б)

Исследуем функцию $f(x) = \frac{-1}{|x-1|}$ на непрерывность в точке $a = 1$.

Значение функции в точке $a=1$ не определено, так как знаменатель дроби $|1-1| = 0$. Следовательно, в точке $x=1$ функция имеет разрыв. Для определения типа разрыва найдем односторонние пределы.

Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} \frac{-1}{|x-1|}$. Когда $x$ стремится к 1 слева, выражение $(x-1)$ стремится к 0, оставаясь отрицательным, а $|x-1|$ стремится к 0, оставаясь положительным. Таким образом, $\lim_{x \to 1^-} \frac{-1}{|x-1|} = -\infty$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} \frac{-1}{|x-1|}$. Когда $x$ стремится к 1 справа, выражение $(x-1)$ стремится к 0, оставаясь положительным, и $|x-1|$ также стремится к 0, оставаясь положительным. Таким образом, $\lim_{x \to 1^+} \frac{-1}{|x-1|} = -\infty$.

Так как односторонние пределы в точке $a=1$ бесконечны, то в этой точке функция имеет разрыв второго рода.

Ответ: $x=1$ — точка разрыва второго рода.

в)

Исследуем функцию $f(x) = |\tg x|$ на непрерывность в точке $a = \frac{\pi}{2}$.

Функция $\tg x$ не определена в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В частности, она не определена в точке $a = \frac{\pi}{2}$. Следовательно, функция $f(x)$ имеет разрыв в этой точке. Для определения типа разрыва найдем односторонние пределы.

Левосторонний предел: $\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} |\tg x|$. При $x \to (\frac{\pi}{2})^-$ (из первой четверти), $\tg x \to +\infty$. Следовательно, $\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-} |\tg x| = +\infty$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+} |\tg x|$. При $x \to (\frac{\pi}{2})^+$ (из второй четверти), $\tg x \to -\infty$. Следовательно, $\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^+} |\tg x| = |-\infty| = +\infty$.

Так как односторонние пределы в точке $a=\frac{\pi}{2}$ бесконечны, то в этой точке функция имеет разрыв второго рода.

Ответ: $x=\frac{\pi}{2}$ — точка разрыва второго рода.

г)

Исследуем функцию $f(x) = |\ctg x|$ на непрерывность в точке $a = \pi$.

Функция $\ctg x$ не определена в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В частности, она не определена в точке $a = \pi$. Следовательно, функция $f(x)$ имеет разрыв в этой точке. Для определения типа разрыва найдем односторонние пределы.

Левосторонний предел: $\lim_{x \to \pi^-} |\ctg x|$. При $x \to \pi^-$ (из второй четверти), $\ctg x \to -\infty$. Следовательно, $\lim_{x \to \pi^-} |\ctg x| = |-\infty| = +\infty$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to \pi^+} |\ctg x|$. При $x \to \pi^+$ (из третьей четверти), $\ctg x \to +\infty$. Следовательно, $\lim_{x \to \pi^+} |\ctg x| = +\infty$.

Так как односторонние пределы в точке $a=\pi$ бесконечны, то в этой точке функция имеет разрыв второго рода.

Ответ: $x=\pi$ — точка разрыва второго рода.