Номер 2.11, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.11, страница 56.
№2.11 (с. 56)
Условие. №2.11 (с. 56)
скриншот условия

2.11 Найдите левый и правый пределы функции $y = f(x)$ при $x \to a$, если:
a) $f(x) = \frac{x}{|x|}$, $a = 0$;
б) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$, $a = -2$;
в) $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$, $a = 0$;
г) $f(x) = \frac{x^3}{|x|}$, $a = 0$.
Существует ли предел функции $y = f(x)$ при $x \to a$? Если существует, то чему он равен?
Решение 1. №2.11 (с. 56)




Решение 2. №2.11 (с. 56)

Решение 3. №2.11 (с. 56)

Решение 4. №2.11 (с. 56)
а) $f(x) = \frac{x}{|x|}, a = 0$
Для нахождения односторонних пределов необходимо раскрыть модуль $|x|$. По определению модуля:$|x| = x$, если $x \ge 0$$|x| = -x$, если $x < 0$
Найдем левый предел (когда $x$ стремится к $0$ слева, т.е. $x \to 0-$). В этом случае $x$ принимает значения, меньшие нуля ($x < 0$), поэтому $|x| = -x$.
$\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0-} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0-} \frac{x}{-x} = \lim_{x \to 0-} (-1) = -1$.
Найдем правый предел (когда $x$ стремится к $0$ справа, т.е. $x \to 0+$). В этом случае $x$ принимает значения, большие нуля ($x > 0$), поэтому $|x| = x$.
$\lim_{x \to 0+} f(x) = \lim_{x \to 0+} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0+} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0+} (1) = 1$.
Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда левый и правый пределы в этой точке существуют и равны. В данном случае левый предел равен $-1$, а правый — $1$. Так как $-1 \neq 1$, предел функции $f(x)$ при $x \to 0$ не существует.
Ответ: Левый предел равен $-1$, правый предел равен $1$. Предел функции при $x \to 0$ не существует.
б) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}, a = -2$
При подстановке $x = -2$ в функцию мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы найти предел, нужно упростить выражение. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
Для всех $x \neq -2$ функция имеет вид:
$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2$.
Так как при вычислении предела мы рассматриваем значения $x$ в окрестности точки $a=-2$, но не в самой точке, мы можем использовать упрощенное выражение. В данном случае функция $y = x-2$ не содержит особенностей, поэтому левый и правый пределы будут равны значению этой функции в точке $x=-2$.
Левый предел:
$\lim_{x \to -2-} f(x) = \lim_{x \to -2-} (x-2) = -2 - 2 = -4$.
Правый предел:
$\lim_{x \to -2+} f(x) = \lim_{x \to -2+} (x-2) = -2 - 2 = -4$.
Левый и правый пределы равны. Следовательно, предел функции при $x \to -2$ существует и равен их общему значению.
Ответ: Левый предел равен $-4$, правый предел равен $-4$. Предел функции при $x \to -2$ существует и равен $-4$.
в) $f(x) = \frac{x^2}{|x|}, a = 0$
Для нахождения односторонних пределов раскроем модуль $|x|$.
Найдем левый предел (при $x \to 0-$). В этом случае $x < 0$, поэтому $|x| = -x$.
$f(x) = \frac{x^2}{-x} = -x$ для $x < 0$.
$\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0-} (-x) = -0 = 0$.
Найдем правый предел (при $x \to 0+$). В этом случае $x > 0$, поэтому $|x| = x$.
$f(x) = \frac{x^2}{x} = x$ для $x > 0$.
$\lim_{x \to 0+} f(x) = \lim_{x \to 0+} (x) = 0$.
Левый и правый пределы в точке $a=0$ равны: $0=0$. Следовательно, предел функции в этой точке существует и равен их общему значению.
Ответ: Левый предел равен $0$, правый предел равен $0$. Предел функции при $x \to 0$ существует и равен $0$.
г) $f(x) = \frac{x^3}{|x|}, a = 0$
Для нахождения односторонних пределов раскроем модуль $|x|$.
Найдем левый предел (при $x \to 0-$). В этом случае $x < 0$, поэтому $|x| = -x$.
$f(x) = \frac{x^3}{-x} = -x^2$ для $x < 0$.
$\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0-} (-x^2) = -(0)^2 = 0$.
Найдем правый предел (при $x \to 0+$). В этом случае $x > 0$, поэтому $|x| = x$.
$f(x) = \frac{x^3}{x} = x^2$ для $x > 0$.
$\lim_{x \to 0+} f(x) = \lim_{x \to 0+} (x^2) = (0)^2 = 0$.
Левый и правый пределы в точке $a=0$ равны: $0=0$. Следовательно, предел функции в этой точке существует и равен их общему значению.
Ответ: Левый предел равен $0$, правый предел равен $0$. Предел функции при $x \to 0$ существует и равен $0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2.11 расположенного на странице 56 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2.11 (с. 56), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.