Номер 2.11, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 2. Предел функции и непрерывность - номер 2.11, страница 56.

Условие.

2.11 Найдите левый и правый пределы функции $y = f(x)$ при $x \to a$, если:

a) $f(x) = \frac{x}{|x|}$, $a = 0$;

б) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$, $a = -2$;

в) $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$, $a = 0$;

г) $f(x) = \frac{x^3}{|x|}$, $a = 0$.

Существует ли предел функции $y = f(x)$ при $x \to a$? Если существует, то чему он равен?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $f(x) = \frac{x}{|x|}, a = 0$

Для нахождения односторонних пределов необходимо раскрыть модуль $|x|$. По определению модуля:$|x| = x$, если $x \ge 0$$|x| = -x$, если $x < 0$

Найдем левый предел (когда $x$ стремится к $0$ слева, т.е. $x \to 0-$). В этом случае $x$ принимает значения, меньшие нуля ($x < 0$), поэтому $|x| = -x$.

$\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0-} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0-} \frac{x}{-x} = \lim_{x \to 0-} (-1) = -1$.

Найдем правый предел (когда $x$ стремится к $0$ справа, т.е. $x \to 0+$). В этом случае $x$ принимает значения, большие нуля ($x > 0$), поэтому $|x| = x$.

$\lim_{x \to 0+} f(x) = \lim_{x \to 0+} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0+} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0+} (1) = 1$.

Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда левый и правый пределы в этой точке существуют и равны. В данном случае левый предел равен $-1$, а правый — $1$. Так как $-1 \neq 1$, предел функции $f(x)$ при $x \to 0$ не существует.

Ответ: Левый предел равен $-1$, правый предел равен $1$. Предел функции при $x \to 0$ не существует.

б) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}, a = -2$

При подстановке $x = -2$ в функцию мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы найти предел, нужно упростить выражение. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Для всех $x \neq -2$ функция имеет вид:

$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2$.

Так как при вычислении предела мы рассматриваем значения $x$ в окрестности точки $a=-2$, но не в самой точке, мы можем использовать упрощенное выражение. В данном случае функция $y = x-2$ не содержит особенностей, поэтому левый и правый пределы будут равны значению этой функции в точке $x=-2$.

Левый предел:

$\lim_{x \to -2-} f(x) = \lim_{x \to -2-} (x-2) = -2 - 2 = -4$.

Правый предел:

$\lim_{x \to -2+} f(x) = \lim_{x \to -2+} (x-2) = -2 - 2 = -4$.

Левый и правый пределы равны. Следовательно, предел функции при $x \to -2$ существует и равен их общему значению.

Ответ: Левый предел равен $-4$, правый предел равен $-4$. Предел функции при $x \to -2$ существует и равен $-4$.

в) $f(x) = \frac{x^2}{|x|}, a = 0$

Для нахождения односторонних пределов раскроем модуль $|x|$.

Найдем левый предел (при $x \to 0-$). В этом случае $x < 0$, поэтому $|x| = -x$.

$f(x) = \frac{x^2}{-x} = -x$ для $x < 0$.

$\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0-} (-x) = -0 = 0$.

Найдем правый предел (при $x \to 0+$). В этом случае $x > 0$, поэтому $|x| = x$.

$f(x) = \frac{x^2}{x} = x$ для $x > 0$.

$\lim_{x \to 0+} f(x) = \lim_{x \to 0+} (x) = 0$.

Левый и правый пределы в точке $a=0$ равны: $0=0$. Следовательно, предел функции в этой точке существует и равен их общему значению.

Ответ: Левый предел равен $0$, правый предел равен $0$. Предел функции при $x \to 0$ существует и равен $0$.

г) $f(x) = \frac{x^3}{|x|}, a = 0$

Для нахождения односторонних пределов раскроем модуль $|x|$.

Найдем левый предел (при $x \to 0-$). В этом случае $x < 0$, поэтому $|x| = -x$.

$f(x) = \frac{x^3}{-x} = -x^2$ для $x < 0$.

$\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0-} (-x^2) = -(0)^2 = 0$.

Найдем правый предел (при $x \to 0+$). В этом случае $x > 0$, поэтому $|x| = x$.

$f(x) = \frac{x^3}{x} = x^2$ для $x > 0$.

$\lim_{x \to 0+} f(x) = \lim_{x \to 0+} (x^2) = (0)^2 = 0$.

Левый и правый пределы в точке $a=0$ равны: $0=0$. Следовательно, предел функции в этой точке существует и равен их общему значению.

Ответ: Левый предел равен $0$, правый предел равен $0$. Предел функции при $x \to 0$ существует и равен $0$.