Номер 2.16, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.16, страница 59.
№2.16 (с. 59)
Условие. №2.16 (с. 59)
скриншот условия

2.16 Докажите, что:
a) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x} = 1$;
б) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{\sin x} = 1$.
Решение 1. №2.16 (с. 59)


Решение 2. №2.16 (с. 59)

Решение 4. №2.16 (с. 59)
а)
Для доказательства данного равенства преобразуем выражение под знаком предела. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x}$.
Теперь представим предел в виде произведения двух пределов, что возможно благодаря свойству предела произведения:
$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}\right) = \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\right) \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}\right)$.
Первый множитель в этом выражении является первым замечательным пределом, значение которого известно:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.
Второй предел найдем путем прямой подстановки значения $x=0$, поскольку функция $y = \cos x$ непрерывна в этой точке и $\cos 0 = 1 \neq 0$:
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$.
Перемножая полученные значения, мы доказываем исходное равенство:
$1 \cdot 1 = 1$.
Ответ: 1.
б)
Для доказательства этого равенства также начнем с замены тангенса на отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x}$.
В определении предела переменная $x$ стремится к нулю, но не принимает это значение ($x \neq 0$), следовательно, $\sin x \neq 0$ в окрестности нуля. Это позволяет нам сократить дробь на $\sin x$:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x \cdot \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}$.
Функция $y=\cos x$ непрерывна в точке $x=0$, поэтому мы можем вычислить предел прямой подстановкой:
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$.
Таким образом, равенство доказано.
Ответ: 1.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2.16 расположенного на странице 59 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2.16 (с. 59), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.