Номер 2.16, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.16, страница 59.

№2.16 (с. 59)
Условие. №2.16 (с. 59)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 59, номер 2.16, Условие

2.16 Докажите, что:

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x} = 1$;

б) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{\sin x} = 1$.

Решение 1. №2.16 (с. 59)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 59, номер 2.16, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 59, номер 2.16, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №2.16 (с. 59)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 59, номер 2.16, Решение 2
Решение 4. №2.16 (с. 59)

а)

Для доказательства данного равенства преобразуем выражение под знаком предела. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x}$.

Теперь представим предел в виде произведения двух пределов, что возможно благодаря свойству предела произведения:

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}\right) = \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\right) \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}\right)$.

Первый множитель в этом выражении является первым замечательным пределом, значение которого известно:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

Второй предел найдем путем прямой подстановки значения $x=0$, поскольку функция $y = \cos x$ непрерывна в этой точке и $\cos 0 = 1 \neq 0$:

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$.

Перемножая полученные значения, мы доказываем исходное равенство:

$1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1.

б)

Для доказательства этого равенства также начнем с замены тангенса на отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x}$.

В определении предела переменная $x$ стремится к нулю, но не принимает это значение ($x \neq 0$), следовательно, $\sin x \neq 0$ в окрестности нуля. Это позволяет нам сократить дробь на $\sin x$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x \cdot \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}$.

Функция $y=\cos x$ непрерывна в точке $x=0$, поэтому мы можем вычислить предел прямой подстановкой:

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$.

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: 1.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2.16 расположенного на странице 59 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2.16 (с. 59), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.