Номер 2.16, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 2. Предел функции и непрерывность - номер 2.16, страница 59.

Условие.

2.16 Докажите, что:

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x} = 1$;

б) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{\sin x} = 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Для доказательства данного равенства преобразуем выражение под знаком предела. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x}$.

Теперь представим предел в виде произведения двух пределов, что возможно благодаря свойству предела произведения:

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}\right) = \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\right) \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}\right)$.

Первый множитель в этом выражении является первым замечательным пределом, значение которого известно:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

Второй предел найдем путем прямой подстановки значения $x=0$, поскольку функция $y = \cos x$ непрерывна в этой точке и $\cos 0 = 1 \neq 0$:

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$.

Перемножая полученные значения, мы доказываем исходное равенство:

$1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1.

б)

Для доказательства этого равенства также начнем с замены тангенса на отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x}$.

В определении предела переменная $x$ стремится к нулю, но не принимает это значение ($x \neq 0$), следовательно, $\sin x \neq 0$ в окрестности нуля. Это позволяет нам сократить дробь на $\sin x$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x \cdot \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}$.

Функция $y=\cos x$ непрерывна в точке $x=0$, поэтому мы можем вычислить предел прямой подстановкой:

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$.

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: 1.