Номер 2.21, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 2. Предел функции и непрерывность - номер 2.21, страница 63.

Условие.

2.21 Что называют:

а) приращением аргумента;

б) приращением функции?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) приращением аргумента

Пусть имеется независимая переменная $x$, которую называют аргументом функции. Если начальное значение аргумента $x_0$ изменяется до нового значения $x_1$, то разность между новым и начальным значениями называют приращением аргумента.

Приращение аргумента принято обозначать греческой буквой $\Delta$ (дельта), то есть $\Delta x$. Таким образом, формула для нахождения приращения аргумента:

$\Delta x = x_1 - x_0$

Из этой формулы следует, что новое значение аргумента можно выразить через его начальное значение и приращение: $x_1 = x_0 + \Delta x$. Приращение $\Delta x$ может быть как положительным (если $x_1 > x_0$), так и отрицательным (если $x_1 < x_0$). Оно показывает, на сколько изменилась независимая переменная.

Ответ: Приращением аргумента называется разность между его конечным (новым) и начальным значениями. Если начальное значение аргумента — $x_0$, а конечное — $x_1$, то приращение аргумента $\Delta x = x_1 - x_0$.

б) приращением функции

Рассмотрим функцию $y=f(x)$. Когда аргумент $x$ получает приращение $\Delta x$ и изменяется от начального значения $x_0$ до нового значения $x_1 = x_0 + \Delta x$, значение функции $y$ также изменяется.

Начальное значение функции равно $y_0 = f(x_0)$, а новое значение функции равно $y_1 = f(x_1) = f(x_0 + \Delta x)$. Разность между новым и начальным значениями функции называется приращением функции.

Приращение функции обозначается $\Delta y$ или $\Delta f$ и соответствует приращению аргумента $\Delta x$. Формула для нахождения приращения функции:

$\Delta y = y_1 - y_0 = f(x_1) - f(x_0)$

Подставив $x_1 = x_0 + \Delta x$, получим наиболее часто используемую форму записи, которая является ключевой для определения понятия производной:

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Таким образом, приращение функции — это изменение значения зависимой переменной, которое произошло из-за изменения её аргумента.

Ответ: Приращением функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ называется соответствующее приращению аргумента $\Delta x$ изменение значения функции, которое вычисляется по формуле $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.