Номер 2.27, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.27, страница 64.

Условие.

2.27 Докажите, что в любой точке $x_0 \in \mathbb{R}$ непрерывна функция:

а) $y = x^2$;

б) $y = x^3$;

в) $y = 2x^3 - x^2 + x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для доказательства непрерывности функции $f(x)$ в произвольной точке $x_0$ необходимо показать, что предел функции при $x \to x_0$ равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Это условие эквивалентно тому, что приращение функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ стремится к нулю, когда приращение аргумента $\Delta x$ стремится к нулю. То есть, мы докажем, что для каждой функции $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$.

а) $y = x^2$

Пусть $f(x) = x^2$. Для произвольной точки $x_0 \in \mathbb{R}$ найдем приращение функции $\Delta y$: $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (x_0 + \Delta x)^2 - x_0^2$.

Раскроем скобки и упростим выражение: $\Delta y = x_0^2 + 2x_0 \Delta x + (\Delta x)^2 - x_0^2 = 2x_0 \Delta x + (\Delta x)^2$.

Теперь найдем предел этого выражения при $\Delta x \to 0$: $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} (2x_0 \Delta x + (\Delta x)^2) = 2x_0 \cdot 0 + 0^2 = 0$.

Поскольку предел приращения функции равен нулю, функция непрерывна в точке $x_0$. Так как $x_0$ — произвольная точка, функция непрерывна на всей числовой оси.

Ответ: Непрерывность функции доказана.

б) $y = x^3$

Пусть $f(x) = x^3$. Для произвольной точки $x_0 \in \mathbb{R}$ найдем приращение функции $\Delta y$: $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (x_0 + \Delta x)^3 - x_0^3$.

Используя формулу куба суммы, раскроем скобки и упростим: $\Delta y = x_0^3 + 3x_0^2 \Delta x + 3x_0 (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - x_0^3 = 3x_0^2 \Delta x + 3x_0 (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$.

Найдем предел приращения функции при $\Delta x \to 0$: $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} (3x_0^2 \Delta x + 3x_0 (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) = 3x_0^2 \cdot 0 + 3x_0 \cdot 0^2 + 0^3 = 0$.

Предел приращения функции равен нулю, следовательно, функция непрерывна в точке $x_0$. Так как точка $x_0$ выбрана произвольно, функция непрерывна на $\mathbb{R}$.

Ответ: Непрерывность функции доказана.

в) $y = 2x^3 - x^2 + x$

Пусть $f(x) = 2x^3 - x^2 + x$. Для произвольной точки $x_0 \in \mathbb{R}$ найдем приращение функции $\Delta y$: $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = [2(x_0 + \Delta x)^3 - (x_0 + \Delta x)^2 + (x_0 + \Delta x)] - [2x_0^3 - x_0^2 + x_0]$.

Сгруппируем слагаемые: $\Delta y = 2[(x_0 + \Delta x)^3 - x_0^3] - [(x_0 + \Delta x)^2 - x_0^2] + [(x_0 + \Delta x) - x_0]$.

Воспользуемся результатами, полученными при решении пунктов а) и б) для приращений функций $x^3$ и $x^2$: $\Delta y = 2(3x_0^2 \Delta x + 3x_0 (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - (2x_0 \Delta x + (\Delta x)^2) + \Delta x$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $\Delta y = (6x_0^2 \Delta x + 6x_0 (\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3) - (2x_0 \Delta x + (\Delta x)^2) + \Delta x = (6x_0^2 - 2x_0 + 1)\Delta x + (6x_0 - 1)(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3$.

Найдем предел этого выражения при $\Delta x \to 0$: $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} [(6x_0^2 - 2x_0 + 1)\Delta x + (6x_0 - 1)(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3] = 0$.

Так как предел приращения функции равен нулю, функция непрерывна в любой точке $x_0 \in \mathbb{R}$.

Ответ: Непрерывность функции доказана.