Номер 2.31, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.31, страница 64.

Условие.

2.31 Докажите непрерывность функции $y = f(x)$ в произвольной точке $x_0 \in \mathbb{R}$:

а) $f(x) = \sin x$;

б) $f(x) = \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для доказательства непрерывности функции в произвольной точке $x_0 \in \mathbb{R}$ необходимо показать, что предел приращения функции $\Delta y$ равен нулю при стремлении приращения аргумента $\Delta x$ к нулю, то есть $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$.

а) $f(x) = \sin x$

Выберем произвольную точку $x_0 \in \mathbb{R}$. Приращение аргумента равно $\Delta x$, тогда $x = x_0 + \Delta x$. Приращение функции в этой точке равно:

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \sin(x_0 + \Delta x) - \sin(x_0)$

Воспользуемся тригонометрической формулой разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$.

Применив эту формулу, получим:

$\Delta y = 2 \sin\left(\frac{(x_0 + \Delta x) - x_0}{2}\right) \cos\left(\frac{(x_0 + \Delta x) + x_0}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right) \cos\left(x_0 + \frac{\Delta x}{2}\right)$

Теперь оценим модуль приращения функции:

$|\Delta y| = \left|2 \sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right) \cos\left(x_0 + \frac{\Delta x}{2}\right)\right| = 2 \left|\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)\right| \left|\cos\left(x_0 + \frac{\Delta x}{2}\right)\right|$

Используем известные неравенства: $|\cos \alpha| \le 1$ для любого $\alpha$, и $|\sin \alpha| \le |\alpha|$ для любого $\alpha$. Последнее неравенство является следствием первого замечательного предела.

$|\Delta y| \le 2 \left|\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)\right| \cdot 1 \le 2 \cdot \left|\frac{\Delta x}{2}\right| = |\Delta x|$

Таким образом, мы получили неравенство $0 \le |\Delta y| \le |\Delta x|$.

Поскольку $\lim_{\Delta x \to 0} |\Delta x| = 0$, то по теореме о двух милиционерах (теореме о сжатии) следует, что $\lim_{\Delta x \to 0} |\Delta y| = 0$, а это, в свою очередь, означает, что $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$.

Так как точка $x_0$ была выбрана произвольно, это доказывает непрерывность функции $f(x) = \sin x$ на всей числовой прямой.

Ответ: Непрерывность функции доказана.

б) $f(x) = \cos x$

Доказательство проводится аналогично пункту а). Возьмем произвольную точку $x_0 \in \mathbb{R}$ и найдем приращение функции $\Delta y$ при приращении аргумента $\Delta x$.

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \cos(x_0 + \Delta x) - \cos(x_0)$

Воспользуемся тригонометрической формулой разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

Применив эту формулу, получим:

$\Delta y = -2 \sin\left(\frac{(x_0 + \Delta x) + x_0}{2}\right) \sin\left(\frac{(x_0 + \Delta x) - x_0}{2}\right) = -2 \sin\left(x_0 + \frac{\Delta x}{2}\right) \sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)$

Оценим модуль приращения функции:

$|\Delta y| = \left|-2 \sin\left(x_0 + \frac{\Delta x}{2}\right) \sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)\right| = 2 \left|\sin\left(x_0 + \frac{\Delta x}{2}\right)\right| \left|\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)\right|$

Используем известные неравенства: $|\sin \alpha| \le 1$ для любого $\alpha$, и $|\sin \alpha| \le |\alpha|$ для любого $\alpha$.

$|\Delta y| \le 2 \cdot 1 \cdot \left|\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)\right| \le 2 \cdot \left|\frac{\Delta x}{2}\right| = |\Delta x|$

Мы получили такое же неравенство, как и для синуса: $0 \le |\Delta y| \le |\Delta x|$.

Так как $\lim_{\Delta x \to 0} |\Delta x| = 0$, то по теореме о сжатии $\lim_{\Delta x \to 0} |\Delta y| = 0$, и, следовательно, $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$.

Это доказывает непрерывность функции $f(x) = \cos x$ в любой точке $x_0 \in \mathbb{R}$.

Ответ: Непрерывность функции доказана.