Номер 2.37, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 2. Предел функции и непрерывность - номер 2.37, страница 67.

Условие.

2.37* Докажите, что уравнение $x^5 - 55 = 0$ имеет корень на отрезке $[2; 4]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства того, что уравнение $x^5 - 55 = 0$ имеет корень на отрезке $[2; 4]$, воспользуемся теоремой Больцано-Коши о промежуточном значении.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 - 55$. Эта функция является многочленом, а многочлены непрерывны на всей числовой прямой. Следовательно, функция $f(x)$ непрерывна и на отрезке $[2; 4]$.

Теперь вычислим значения функции на концах этого отрезка:

При $x = 2$ значение функции равно: $f(2) = 2^5 - 55 = 32 - 55 = -23$.

При $x = 4$ значение функции равно: $f(4) = 4^5 - 55 = 1024 - 55 = 969$.

Мы получили, что на концах отрезка $[2; 4]$ значения функции имеют разные знаки: $f(2) < 0$ и $f(4) > 0$.

Согласно теореме Больцано-Коши, если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри этого отрезка существует хотя бы один корень уравнения $f(x) = 0$.

Так как все условия теоремы для функции $f(x) = x^5 - 55$ на отрезке $[2; 4]$ выполнены, мы можем утверждать, что на данном отрезке существует как минимум один корень, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.