Номер 3.2, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3. Обратные функции. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 3.2, страница 74.

Условие.

3.2 Выполнив построение графиков, убедитесь, что в декартовой системе координат $xOy$ совпадают графики функций:

а) $y = x + 1$ и $x = y - 1$;

б) $y = 2x$ и $x = \frac{1}{2}y$;

в) $y = x^2$, $x \in [0; +\infty)$ и $x = \sqrt{y}$, $y \in [0; +\infty)$;

г) $y = x^2$, $x \in (-\infty; 0]$ и $x = -\sqrt{y}$, $y \in [0; +\infty)$;

д) $y = x^3$ и $x = \sqrt[3]{y}$;

е) $y = 2^x$ и $x = \log_2 y$, $y \in (0; +\infty)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Рассмотрим пару уравнений: $y = x + 1$ и $x = y - 1$. Чтобы убедиться, что их графики в декартовой системе координат $xOy$ совпадают, мы должны показать, что они определяют одно и то же множество точек $(x, y)$. Преобразуем второе уравнение, выразив $y$ через $x$.

Из уравнения $x = y - 1$ путем добавления 1 к обеим частям получаем:

$x + 1 = y$, или $y = x + 1$.

Это уравнение в точности совпадает с первым. Оба уравнения описывают одну и ту же прямую линию. Следовательно, их графики совпадают.

Ответ: Графики функций совпадают, так как уравнение $x = y - 1$ является алгебраическим преобразованием уравнения $y = x + 1$.

б)

Рассмотрим функции $y = 2x$ и $x = \frac{1}{2}y$. Выразим $y$ из второго уравнения, умножив обе части на 2:

$2x = 2 \cdot \frac{1}{2}y$

$2x = y$, или $y = 2x$.

Полученное уравнение идентично первому. Оба уравнения описывают одну и ту же прямую, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом 2. Таким образом, их графики совпадают.

Ответ: Графики функций совпадают, так как уравнения $y=2x$ и $x=\frac{1}{2}y$ эквивалентны.

в)

Рассмотрим функции $y = x^2$ при $x \in [0; +\infty)$ и $x = \sqrt{y}$ при $y \in [0; +\infty)$.

Первая функция задает правую ветвь параболы, начинающуюся в точке $(0,0)$. Область определения $x \ge 0$, область значений $y \ge 0$.

Рассмотрим второе уравнение $x = \sqrt{y}$. По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно, поэтому из этого уравнения следует, что $x \ge 0$. Также задано условие $y \ge 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{y})^2$

$y = x^2$

Таким образом, второе уравнение $x = \sqrt{y}$ при $y \ge 0$ эквивалентно уравнению $y = x^2$ при $x \ge 0$. Поскольку и уравнения, и ограничения на переменные совпадают, их графики также совпадают.

Ответ: Графики функций совпадают, так как они описывают одно и то же множество точек (правую ветвь параболы).

г)

Рассмотрим функции $y = x^2$ при $x \in (-\infty; 0]$ и $x = -\sqrt{y}$ при $y \in [0; +\infty)$.

Первая функция задает левую ветвь параболы, начинающуюся в точке $(0,0)$. Область определения $x \le 0$, область значений $y \ge 0$.

Рассмотрим второе уравнение $x = -\sqrt{y}$. Так как $\sqrt{y} \ge 0$, то $-\sqrt{y} \le 0$, следовательно, $x \le 0$. Условие $y \ge 0$ дано. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2 = (-\sqrt{y})^2$

$y = x^2$

Второе уравнение $x = -\sqrt{y}$ при $y \ge 0$ эквивалентно уравнению $y = x^2$ при $x \le 0$. Так как и уравнения, и ограничения на переменные совпадают, их графики совпадают.

Ответ: Графики функций совпадают, так как они описывают одно и то же множество точек (левую ветвь параболы).

д)

Рассмотрим функции $y = x^3$ и $x = \sqrt[3]{y}$. Обе функции определены для всех действительных чисел.

Выразим $y$ из второго уравнения $x = \sqrt[3]{y}$. Для этого возведем обе части уравнения в третью степень:

$x^3 = (\sqrt[3]{y})^3$

$y = x^3$

Полученное уравнение полностью совпадает с первым. Графиком обеих функций является кубическая парабола. Следовательно, графики совпадают.

Ответ: Графики функций совпадают, так как уравнения $y=x^3$ и $x=\sqrt[3]{y}$ эквивалентны для всех действительных чисел.

е)

Рассмотрим функции $y = 2^x$ и $x = \log_2 y$ при $y \in (0; +\infty)$.

Первая функция $y = 2^x$ — это показательная функция. Ее область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), а область значений — все положительные действительные числа ($y \in (0; +\infty)$).

Второе уравнение $x = \log_2 y$ — логарифмическое. По определению логарифма, оно эквивалентно показательному уравнению $y = 2^x$.

Заданное ограничение $y \in (0; +\infty)$ для логарифмической функции совпадает с областью значений показательной функции. Таким образом, оба уравнения описывают одно и то же множество точек.

Ответ: Графики функций совпадают, так как уравнение $x = \log_2 y$ является по определению эквивалентной записью для $y = 2^x$.