Номер 3.8, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 3. Обратные функции - номер 3.8, страница 78.

Условие.

Постройте график данной функции $y = f(x)$. Найдите функцию $y = \varphi (x)$, обратную к данной функции, и постройте её график

(3.8–3.9):

3.8 a) $y = \frac{4}{x - 2}$, $x \in (2; +\infty)$

б) $y = \frac{-4}{x - 2}$, $x \in (-\infty; 2)$

в) $y = 1 - \frac{6}{x + 2}$, $x \in (-2; +\infty)$

г) $y = 1 + \frac{6}{x - 4}$, $x \in (-\infty; 4)$

д) $y = \frac{1}{1 + x^2}$, $x \in [0; +\infty)$

е) $y = \frac{1}{1 + x^2}$, $x \in (-\infty; 0]$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана функция $y = f(x) = \frac{4}{x-2}$ с областью определения $D(f) = (2; +\infty)$.

Построение графика $y = f(x)$

График этой функции – это часть гиперболы. Его можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо. Асимптоты графика: вертикальная – прямая $x=2$, горизонтальная – прямая $y=0$ (ось Ox). Так как область определения $x > 2$, мы рассматриваем только правую ветвь гиперболы. Эта ветвь целиком лежит в первой четверти относительно своих асимптот. Функция убывает на всей области определения. При $x \to 2^+$, $y \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $y \to 0$. Несколько точек для построения: $(3, 4)$, $(4, 2)$, $(6, 1)$.

Нахождение обратной функции $y = \phi(x)$

Сначала найдем область значений исходной функции $E(f)$. Поскольку $x \in (2; +\infty)$, то $x-2 \in (0; +\infty)$, и, следовательно, $y = \frac{4}{x-2} \in (0; +\infty)$. Итак, $E(f) = (0; +\infty)$. Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = \frac{4}{x-2}$: $y(x-2) = 4 \implies x-2 = \frac{4}{y} \implies x = 2 + \frac{4}{y}$. Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить функцию $\phi(x)$: $y = 2 + \frac{4}{x}$. Итак, обратная функция $y = \phi(x) = 2 + \frac{4}{x}$. Область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то есть $D(\phi) = (0; +\infty)$. Область значений обратной функции $E(\phi)$ совпадает с областью определения исходной функции $D(f)$, то есть $E(\phi) = (2; +\infty)$.

Построение графика $y = \phi(x)$

График функции $y = 2 + \frac{4}{x}$ – это тоже гипербола, полученная из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх. Асимптоты: вертикальная – прямая $x=0$ (ось Oy), горизонтальная – прямая $y=2$. Учитывая область определения $D(\phi) = (0; +\infty)$, мы строим правую ветвь гиперболы. Она лежит выше горизонтальной асимптоты $y=2$. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $y \to 2$. Несколько точек для построения: $(1, 6)$, $(2, 4)$, $(4, 3)$. График обратной функции $y = \phi(x)$ симметричен графику исходной функции $y = f(x)$ относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = \phi(x) = 2 + \frac{4}{x}$, ее область определения $D(\phi) = (0; +\infty)$. График исходной функции - правая ветвь гиперболы с асимптотами $x=2, y=0$. График обратной функции - правая ветвь гиперболы с асимптотами $x=0, y=2$.

б)

Дана функция $y = f(x) = \frac{-4}{x-2}$ с областью определения $D(f) = (-\infty; 2)$.

Построение графика $y = f(x)$

График этой функции – это часть гиперболы. Его можно получить из графика функции $y = \frac{-4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо. Асимптоты графика: вертикальная – прямая $x=2$, горизонтальная – прямая $y=0$ (ось Ox). Так как область определения $x < 2$, мы рассматриваем только левую ветвь гиперболы. Эта ветвь целиком лежит во второй четверти относительно своих асимптот. Функция возрастает на всей области определения. При $x \to 2^-$, $y \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$. Несколько точек для построения: $(0, 2)$, $(-2, 1)$.

Нахождение обратной функции $y = \phi(x)$

Сначала найдем область значений исходной функции $E(f)$. Поскольку $x \in (-\infty; 2)$, то $x-2 \in (-\infty; 0)$, и, следовательно, $y = \frac{-4}{x-2} \in (0; +\infty)$. Итак, $E(f) = (0; +\infty)$. Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = \frac{-4}{x-2}$: $y(x-2) = -4 \implies x-2 = -\frac{4}{y} \implies x = 2 - \frac{4}{y}$. Теперь поменяем местами $x$ и $y$: $y = 2 - \frac{4}{x}$. Итак, обратная функция $y = \phi(x) = 2 - \frac{4}{x}$. Область определения обратной функции $D(\phi) = E(f) = (0; +\infty)$. Область значений $E(\phi) = D(f) = (-\infty; 2)$.

Построение графика $y = \phi(x)$

График функции $y = 2 - \frac{4}{x}$ – это гипербола, полученная из графика $y = -\frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх. Асимптоты: вертикальная – $x=0$, горизонтальная – $y=2$. Учитывая область определения $D(\phi) = (0; +\infty)$, мы строим правую ветвь гиперболы. Она лежит ниже горизонтальной асимптоты $y=2$. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$. При $x \to +\infty$, $y \to 2$. Несколько точек для построения: $(2, 0)$, $(4, 1)$. График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = \phi(x) = 2 - \frac{4}{x}$, ее область определения $D(\phi) = (0; +\infty)$. График исходной функции - левая ветвь гиперболы ($y=\frac{-4}{x-2}$) с асимптотами $x=2, y=0$. График обратной функции - правая ветвь гиперболы ($y=2-\frac{4}{x}$) с асимптотами $x=0, y=2$.

в)

Дана функция $y = f(x) = 1 - \frac{6}{x+2}$ с областью определения $D(f) = (-2; +\infty)$.

Построение графика $y = f(x)$

График этой функции – это часть гиперболы, которую можно записать как $y-1 = \frac{-6}{x+2}$. Его можно получить из графика $y = \frac{-6}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх. Асимптоты: вертикальная – $x=-2$, горизонтальная – $y=1$. Так как $x > -2$, мы рассматриваем правую ветвь. Эта ветвь целиком лежит в четвертой четверти относительно своих асимптот. Функция возрастает на всей области определения. При $x \to -2^+$, $y \to -\infty$. При $x \to +\infty$, $y \to 1$. Точки для построения: $(0, -2)$, $(4, 0)$.

Нахождение обратной функции $y = \phi(x)$

Найдем область значений $E(f)$. При $x \in (-2; +\infty)$, $x+2 \in (0; +\infty)$, $\frac{6}{x+2} \in (0; +\infty)$, $-\frac{6}{x+2} \in (-\infty; 0)$. Тогда $y = 1 - \frac{6}{x+2} \in (-\infty; 1)$. Итак, $E(f) = (-\infty; 1)$. Выразим $x$ через $y$: $y-1 = -\frac{6}{x+2} \implies 1-y = \frac{6}{x+2} \implies x+2 = \frac{6}{1-y} \implies x = \frac{6}{1-y} - 2$. Меняем местами $x$ и $y$: $y = \frac{6}{1-x} - 2$. Обратная функция $y = \phi(x) = \frac{6}{1-x} - 2 = \frac{-6}{x-1} - 2$. Область определения $D(\phi) = E(f) = (-\infty; 1)$. Область значений $E(\phi) = D(f) = (-2; +\infty)$.

Построение графика $y = \phi(x)$

График функции $y = \frac{-6}{x-1} - 2$ – это гипербола, полученная из $y = \frac{-6}{x}$ сдвигом на 1 вправо и на 2 вниз. Асимптоты: $x=1$ и $y=-2$. С областью определения $D(\phi) = (-\infty; 1)$ строим левую ветвь, которая лежит во второй четверти относительно асимптот. При $x \to 1^-$, $y \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to -2$. Точки для построения: $(0, -8)$, $(-2, 0)$. График $\phi(x)$ симметричен графику $f(x)$ относительно $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = \phi(x) = \frac{6}{1-x} - 2$, ее область определения $D(\phi) = (-\infty; 1)$. График исходной функции - правая ветвь гиперболы с асимптотами $x=-2, y=1$. График обратной функции - левая ветвь гиперболы с асимптотами $x=1, y=-2$.

г)

Дана функция $y = f(x) = 1 + \frac{6}{x-4}$ с областью определения $D(f) = (-\infty; 4)$.

Построение графика $y = f(x)$

График этой функции – это часть гиперболы $y-1 = \frac{6}{x-4}$. Его можно получить из графика $y = \frac{6}{x}$ сдвигом на 4 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Асимптоты: вертикальная – $x=4$, горизонтальная – $y=1$. Так как $x < 4$, мы рассматриваем левую ветвь. Эта ветвь целиком лежит в третьей четверти относительно своих асимптот. Функция убывает на всей области определения. При $x \to 4^-$, $y \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to 1$. Точки для построения: $(0, -0.5)$, $(-2, 0)$.

Нахождение обратной функции $y = \phi(x)$

Найдем область значений $E(f)$. При $x \in (-\infty; 4)$, $x-4 \in (-\infty; 0)$, $\frac{6}{x-4} \in (-\infty; 0)$. Тогда $y = 1 + \frac{6}{x-4} \in (-\infty; 1)$. Итак, $E(f) = (-\infty; 1)$. Выразим $x$ через $y$: $y-1 = \frac{6}{x-4} \implies x-4 = \frac{6}{y-1} \implies x = 4 + \frac{6}{y-1}$. Меняем местами $x$ и $y$: $y = 4 + \frac{6}{x-1}$. Обратная функция $y = \phi(x) = 4 + \frac{6}{x-1}$. Область определения $D(\phi) = E(f) = (-\infty; 1)$. Область значений $E(\phi) = D(f) = (-\infty; 4)$.

Построение графика $y = \phi(x)$

График функции $y = 4 + \frac{6}{x-1}$ – это гипербола, полученная из $y = \frac{6}{x}$ сдвигом на 1 вправо и на 4 вверх. Асимптоты: $x=1$ и $y=4$. С областью определения $D(\phi) = (-\infty; 1)$ строим левую ветвь, которая лежит в третьей четверти относительно асимптот. При $x \to 1^-$, $y \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to 4$. Точки для построения: $(0, -2)$, $(-0.5, 0)$. График $\phi(x)$ симметричен графику $f(x)$ относительно $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = \phi(x) = 4 + \frac{6}{x-1}$, ее область определения $D(\phi) = (-\infty; 1)$. График исходной функции - левая ветвь гиперболы с асимптотами $x=4, y=1$. График обратной функции - левая ветвь гиперболы с асимптотами $x=1, y=4$.

д)

Дана функция $y = f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ с областью определения $D(f) = [0; +\infty)$.

Построение графика $y = f(x)$

График этой функции – это правая часть кривой, известной как "локон Аньези". Горизонтальная асимптота $y=0$. Вертикальных асимптот нет. На промежутке $[0; +\infty)$ функция убывает. Максимальное значение достигается при $x=0$, $y=1$. При $x \to +\infty$, $y \to 0$. График начинается в точке $(0, 1)$ и плавно спускается, приближаясь к оси Ox. Точки для построения: $(0, 1)$, $(1, 1/2)$, $(2, 1/5)$.

Нахождение обратной функции $y = \phi(x)$

Найдем область значений $E(f)$. При $x \in [0; +\infty)$, $x^2 \in [0; +\infty)$, $1+x^2 \in [1; +\infty)$. Тогда $y = \frac{1}{1+x^2} \in (0; 1]$. Итак, $E(f) = (0; 1]$. Выразим $x$ через $y$: $1+x^2 = \frac{1}{y} \implies x^2 = \frac{1}{y} - 1 \implies x = \sqrt{\frac{1-y}{y}}$. Мы берем положительный корень, так как область определения исходной функции $D(f) = [0; +\infty)$, а это область значений для обратной функции. Меняем местами $x$ и $y$: $y = \sqrt{\frac{1-x}{x}}$. Обратная функция $y = \phi(x) = \sqrt{\frac{1-x}{x}}$. Область определения $D(\phi) = E(f) = (0; 1]$.

Построение графика $y = \phi(x)$

График функции $y = \phi(x)$ имеет вертикальную асимптоту $x=0$. График определен для $x \in (0; 1]$. В точке $x=1$ значение функции $y=0$. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$. График начинается от вертикальной асимптоты $x=0$ вверху и опускается до точки $(1, 0)$ на оси Ox. График $\phi(x)$ симметричен графику $f(x)$ относительно $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = \phi(x) = \sqrt{\frac{1-x}{x}}$, ее область определения $D(\phi) = (0; 1]$.

е)

Дана функция $y = f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ с областью определения $D(f) = (-\infty; 0]$.

Построение графика $y = f(x)$

График этой функции – это левая часть "локона Аньези". Горизонтальная асимптота $y=0$. Вертикальных асимптот нет. На промежутке $(-\infty; 0]$ функция возрастает. Максимальное значение достигается при $x=0$, $y=1$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$. График начинается от оси Ox слева и плавно поднимается до точки $(0, 1)$. Точки для построения: $(0, 1)$, $(-1, 1/2)$, $(-2, 1/5)$.

Нахождение обратной функции $y = \phi(x)$

Найдем область значений $E(f)$. При $x \in (-\infty; 0]$, $x^2 \in [0; +\infty)$, $1+x^2 \in [1; +\infty)$. Тогда $y = \frac{1}{1+x^2} \in (0; 1]$. Итак, $E(f) = (0; 1]$. Выразим $x$ через $y$: $1+x^2 = \frac{1}{y} \implies x^2 = \frac{1}{y} - 1 \implies x = -\sqrt{\frac{1-y}{y}}$. Мы берем отрицательный корень, так как область определения исходной функции $D(f) = (-\infty; 0]$, а это область значений для обратной функции. Меняем местами $x$ и $y$: $y = -\sqrt{\frac{1-x}{x}}$. Обратная функция $y = \phi(x) = -\sqrt{\frac{1-x}{x}}$. Область определения $D(\phi) = E(f) = (0; 1]$.

Построение графика $y = \phi(x)$

График функции $y = \phi(x)$ имеет вертикальную асимптоту $x=0$. График определен для $x \in (0; 1]$. В точке $x=1$ значение функции $y=0$. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$. График начинается от вертикальной асимптоты $x=0$ внизу и поднимается до точки $(1, 0)$ на оси Ox. График $\phi(x)$ симметричен графику $f(x)$ относительно $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = \phi(x) = -\sqrt{\frac{1-x}{x}}$, ее область определения $D(\phi) = (0; 1]$.