Номер 3.14, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3. Обратные функции. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 3.14, страница 79.

Условие.

3.14 На рисунке 85, а—г дан график функции $y = f(x)$. Постройте в той же системе координат график функции $y = \varphi(x)$, обратной к функции $y = f(x)$.

а)

б)

в)

г)

Рис. 85

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для построения графика функции $y = \phi(x)$, обратной к функции $y = f(x)$, необходимо отразить график функции $y = f(x)$ симметрично относительно прямой $y=x$. Это означает, что каждой точке $(a, b)$ на графике $y = f(x)$ соответствует точка $(b, a)$ на графике $y = \phi(x)$. Мы найдем координаты ключевых точек на каждом из данных графиков, поменяем их местами и построим по ним графики обратных функций.

а)

Исходный график функции $y = f(x)$ представляет собой отрезок прямой. Найдем координаты его концов. Концы отрезка находятся в точках $(-3, 0)$ и $(0, 2)$. Для построения графика обратной функции $y = \phi(x)$ поменяем местами координаты $x$ и $y$ для этих точек. Получим точки $(0, -3)$ и $(2, 0)$. График обратной функции $y = \phi(x)$ — это отрезок прямой, соединяющий эти новые точки.

Ответ: График функции $y=\phi(x)$ — это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -3)$ и $(2, 0)$.

б)

Исходный график функции $y = f(x)$ — это кривая. Найдем координаты ее концов. Концы кривой находятся в точках $(-1, 0)$ и $(3, 2)$. Для построения графика обратной функции $y = \phi(x)$ поменяем местами координаты $x$ и $y$ для этих точек. Получим точки $(0, -1)$ и $(2, 3)$. График обратной функции $y = \phi(x)$ — это кривая, симметричная исходной относительно прямой $y=x$, которая соединяет точки $(0, -1)$ и $(2, 3)$. Исходная кривая похожа на график функции квадратного корня, следовательно, обратная функция будет похожа на ветвь параболы.

Ответ: График функции $y=\phi(x)$ — это кривая, соединяющая точки $(0, -1)$ и $(2, 3)$, являющаяся отражением исходного графика относительно прямой $y=x$.

в)

Исходный график функции $y = f(x)$ — это кривая с концами в точках $(1, -1)$ и $(3, 1)$. Для построения графика обратной функции $y = \phi(x)$ поменяем местами координаты $x$ и $y$. Получим точки $(-1, 1)$ и $(1, 3)$. График обратной функции $y = \phi(x)$ — это кривая, симметричная исходной относительно прямой $y=x$, которая соединяет точки $(-1, 1)$ и $(1, 3)$. Аналогично предыдущему пункту, обратная функция будет похожа на ветвь параболы.

Ответ: График функции $y=\phi(x)$ — это кривая, соединяющая точки $(-1, 1)$ и $(1, 3)$, являющаяся отражением исходного графика относительно прямой $y=x$.

г)

Исходный график функции $y = f(x)$ представляет собой отрезок прямой. Его концы находятся в точках $(-2, 2)$ и $(1, -1)$. Для построения графика обратной функции $y = \phi(x)$ поменяем местами координаты $x$ и $y$. Получим точки $(2, -2)$ и $(-1, 1)$. График обратной функции $y = \phi(x)$ — это отрезок прямой, соединяющий эти новые точки. Стоит отметить, что исходная прямая проходит через точку $(0,0)$, и ее уравнение $y=-x$. Обратная функция также имеет уравнение $y=-x$, но определена на другом отрезке.

Ответ: График функции $y=\phi(x)$ — это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, 1)$ и $(2, -2)$.