Номер 3.19, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3. Обратные функции. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 3.19, страница 88.

Условие.

3.19 Докажите, что:

a) для любого $x \in [-1; 1]$ справедливы равенства $ \cos (\arccos x) = x $, $ \sin (\arccos x) = \sqrt{1 - x^2} $

б) для любого $x \in (-1; 1)$ справедливо равенство $ \operatorname{ctg} (\arccos x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} $

в) для любого $x \in [-1; 0) \cup (0; 1]$ справедливо равенство $ \operatorname{tg} (\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} $

г) для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливы равенства $ \operatorname{tg} (\operatorname{arctg} x) = x $, $ \sin (\operatorname{arctg} x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $, $ \cos (\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $

д) для любого $x \ne 0$ справедливо равенство $ \operatorname{ctg} (\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{x} $

е) для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливы равенства $ \operatorname{ctg} (\operatorname{arcctg} x) = x $, $ \sin (\operatorname{arcctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $, $ \cos (\operatorname{arcctg} x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $

ж) для любого $x \ne 0$ справедливо равенство $ \operatorname{tg} (\operatorname{arcctg} x) = \frac{1}{x} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) для любого $x \in [-1; 1]$ справедливы равенства $\cos(\arccos x) = x, \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$;

Докажем первое равенство: $\cos(\arccos x) = x$.
По определению арккосинуса, $\arccos x$ — это такое число (угол) $y$ из отрезка $[0; \pi]$, что $\cos y = x$. Пусть $y = \arccos x$. Тогда по определению $\cos y = x$ для $x \in [-1; 1]$ и $y \in [0; \pi]$. Подставляя $y$ обратно, получаем $\cos(\arccos x) = x$. Это равенство является определением арккосинуса и справедливо для всей его области определения, то есть для $x \in [-1; 1]$.

Докажем второе равенство: $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$.
Пусть $y = \arccos x$. Тогда $\cos y = x$ и $y \in [0; \pi]$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$. Отсюда $\sin^2 y = 1 - \cos^2 y$. Подставив $\cos y = x$, получим $\sin^2 y = 1 - x^2$. Следовательно, $\sin y = \pm\sqrt{1 - x^2}$. Поскольку $y = \arccos x$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, а на этом отрезке синус неотрицателен ($\sin y \ge 0$), мы выбираем знак плюс. Таким образом, $\sin y = \sqrt{1 - x^2}$. Подставляя $y = \arccos x$, получаем $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$. Равенство справедливо для $x \in [-1; 1]$.

Ответ: Равенства доказаны.

б) для любого $x \in (-1; 1)$ справедливо равенство $\mathrm{ctg}(\arccos x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$;

Пусть $y = \arccos x$. Тогда $\cos y = x$ и $y \in [0; \pi]$. По определению котангенса, $\mathrm{ctg} y = \frac{\cos y}{\sin y}$. Из пункта а) мы знаем, что $\cos(\arccos x) = x$ и $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$. Подставим эти выражения: $\mathrm{ctg}(\arccos x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$. Это выражение определено, когда знаменатель не равен нулю, то есть $\sqrt{1 - x^2} \neq 0$, что эквивалентно $1 - x^2 > 0$, или $x^2 < 1$. Это означает, что $x \in (-1; 1)$, что соответствует условию задачи.

Ответ: Равенство доказано.

в) для любого $x \in [-1; 0) \cup (0; 1]$ справедливо равенство $\mathrm{tg}(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$;

Пусть $y = \arccos x$. Тогда $\cos y = x$ и $y \in [0; \pi]$. По определению тангенса, $\mathrm{tg} y = \frac{\sin y}{\cos y}$. Из пункта а) мы знаем, что $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$ и $\cos(\arccos x) = x$. Подставим эти выражения: $\mathrm{tg}(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$. Это выражение определено, когда знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$. Область определения арккосинуса — $x \in [-1; 1]$. Исключая $x=0$, получаем $x \in [-1; 0) \cup (0; 1]$, что соответствует условию задачи.

Ответ: Равенство доказано.

г) для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливы равенства $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\ x) = x, \sin(\mathrm{arctg}\ x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}, \cos(\mathrm{arctg}\ x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$;

Докажем первое равенство: $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\ x) = x$.
По определению арктангенса, $\mathrm{arctg}\ x$ — это такое число $y$ из интервала $(-\pi/2; \pi/2)$, что $\mathrm{tg}\ y = x$. Пусть $y = \mathrm{arctg}\ x$. Тогда по определению $\mathrm{tg}\ y = x$ для $x \in \mathbb{R}$ и $y \in (-\pi/2; \pi/2)$. Подставляя $y$ обратно, получаем $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\ x) = x$. Это равенство является определением арктангенса и справедливо для всей его области определения, то есть для $x \in \mathbb{R}$.

Докажем второе и третье равенства.
Пусть $y = \mathrm{arctg}\ x$. Тогда $\mathrm{tg}\ y = x$ и $y \in (-\pi/2; \pi/2)$. Воспользуемся тождеством $1 + \mathrm{tg}^2 y = \frac{1}{\cos^2 y}$. Отсюда $\cos^2 y = \frac{1}{1 + \mathrm{tg}^2 y}$. Подставив $\mathrm{tg}\ y = x$, получим $\cos^2 y = \frac{1}{1 + x^2}$. Следовательно, $\cos y = \pm\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$. Поскольку $y = \mathrm{arctg}\ x$ принадлежит интервалу $(-\pi/2; \pi/2)$, а на этом интервале косинус положителен ($\cos y > 0$), мы выбираем знак плюс. Таким образом, $\cos y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$, и $\cos(\mathrm{arctg}\ x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$. Теперь найдем синус. Из определения тангенса $\sin y = \mathrm{tg}\ y \cdot \cos y$. Подставляя известные выражения, получаем $\sin y = x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$. Следовательно, $\sin(\mathrm{arctg}\ x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$. Оба равенства справедливы для любого $x \in \mathbb{R}$, так как $1+x^2$ всегда положительно.

Ответ: Равенства доказаны.

д) для любого $x \neq 0$ справедливо равенство $\mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}\ x) = \frac{1}{x}$;

Пусть $y = \mathrm{arctg}\ x$. Тогда $\mathrm{tg}\ y = x$. Используем тождество $\mathrm{ctg}\ y = \frac{1}{\mathrm{tg}\ y}$. Подставляя $\mathrm{tg}\ y = x$, получаем $\mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}\ x) = \frac{1}{x}$. Данное равенство справедливо при условии, что $\mathrm{tg}\ y = x \neq 0$, что соответствует условию задачи.

Ответ: Равенство доказано.

е) для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливы равенства $\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}\ x) = x, \sin(\mathrm{arcctg}\ x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}, \cos(\mathrm{arcctg}\ x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$;

Докажем первое равенство: $\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}\ x) = x$.
По определению арккотангенса, $\mathrm{arcctg}\ x$ — это такое число $y$ из интервала $(0; \pi)$, что $\mathrm{ctg}\ y = x$. Пусть $y = \mathrm{arcctg}\ x$. Тогда по определению $\mathrm{ctg}\ y = x$ для $x \in \mathbb{R}$ и $y \in (0; \pi)$. Подставляя $y$ обратно, получаем $\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}\ x) = x$. Это равенство является определением арккотангенса и справедливо для $x \in \mathbb{R}$.

Докажем второе и третье равенства.
Пусть $y = \mathrm{arcctg}\ x$. Тогда $\mathrm{ctg}\ y = x$ и $y \in (0; \pi)$. Воспользуемся тождеством $1 + \mathrm{ctg}^2 y = \frac{1}{\sin^2 y}$. Отсюда $\sin^2 y = \frac{1}{1 + \mathrm{ctg}^2 y}$. Подставив $\mathrm{ctg}\ y = x$, получим $\sin^2 y = \frac{1}{1 + x^2}$. Следовательно, $\sin y = \pm\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$. Поскольку $y = \mathrm{arcctg}\ x$ принадлежит интервалу $(0; \pi)$, а на этом интервале синус положителен ($\sin y > 0$), мы выбираем знак плюс. Таким образом, $\sin y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$, и $\sin(\mathrm{arcctg}\ x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$. Теперь найдем косинус. Из определения котангенса $\cos y = \mathrm{ctg}\ y \cdot \sin y$. Подставляя известные выражения, получаем $\cos y = x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$. Следовательно, $\cos(\mathrm{arcctg}\ x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$. Оба равенства справедливы для любого $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Равенства доказаны.

ж) для любого $x \neq 0$ справедливо равенство $\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}\ x) = \frac{1}{x}$.

Пусть $y = \mathrm{arcctg}\ x$. Тогда $\mathrm{ctg}\ y = x$. Используем тождество $\mathrm{tg}\ y = \frac{1}{\mathrm{ctg}\ y}$. Подставляя $\mathrm{ctg}\ y = x$, получаем $\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}\ x) = \frac{1}{x}$. Данное равенство справедливо при условии, что $\mathrm{ctg}\ y = x \neq 0$, что соответствует условию задачи.

Ответ: Равенство доказано.