Номер 3.17, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3. Обратные функции. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 3.17, страница 85.

Условие.

3.17 Найдите функцию $y = \varphi (x)$, обратную к функции:

а) $y = \arcsin x;$

б) $y = \arccos x;$

в) $y = \operatorname{arctg} x;$

г) $y = \operatorname{arcctg} x;$

и постройте их графики в одной системе координат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $y = \arcsin x$

Для нахождения обратной функции $y = \phi(x)$ необходимо поменять местами переменные $x$ и $y$ в исходном уравнении: $x = \arcsin y$. После этого выразим $y$. По определению арксинуса, если $x = \arcsin y$, то $y = \sin x$. Исходная функция $y = \arcsin x$ имеет область определения $D(f) = [-1, 1]$ и область значений $E(f) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. У обратной функции область определения и область значений меняются местами. Следовательно, для функции $y = \phi(x) = \sin x$ область определения будет $D(\phi) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, а область значений $E(\phi) = [-1, 1]$.

Графики исходной функции $y = \arcsin x$ (синий) и обратной ей функции $y = \sin x$ (красный) симметричны относительно прямой $y = x$ (зеленая пунктирная линия).

Ответ: Обратная функция $y = \sin x$ с областью определения $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

б) $y = \arccos x$

Чтобы найти обратную функцию, меняем местами $x$ и $y$: $x = \arccos y$. Отсюда следует, что $y = \cos x$. Исходная функция $y = \arccos x$ имеет область определения $D(f) = [-1, 1]$ и область значений $E(f) = [0, \pi]$. Для обратной функции $y = \phi(x) = \cos x$ область определения $D(\phi) = [0, \pi]$, а область значений $E(\phi) = [-1, 1]$.

Графики исходной функции $y = \arccos x$ (синий) и обратной ей функции $y = \cos x$ (красный) симметричны относительно прямой $y = x$ (зеленая пунктирная линия).

Ответ: Обратная функция $y = \cos x$ с областью определения $x \in [0, \pi]$.

в) $y = \operatorname{arctg} x$

Меняем местами $x$ и $y$, получаем $x = \operatorname{arctg} y$, что равносильно $y = \operatorname{tg} x$. Исходная функция $y = \operatorname{arctg} x$ имеет область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$ и область значений $E(f) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Соответственно, для обратной функции $y = \phi(x) = \operatorname{tg} x$ область определения $D(\phi) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, а область значений $E(\phi) = (-\infty, +\infty)$.

Графики исходной функции $y = \operatorname{arctg} x$ (синий) и обратной ей функции $y = \operatorname{tg} x$ (красный) симметричны относительно прямой $y = x$ (зеленая пунктирная линия). Горизонтальные асимптоты $y = \pm \frac{\pi}{2}$ для арктангенса соответствуют вертикальным асимптотам $x = \pm \frac{\pi}{2}$ для тангенса.

Ответ: Обратная функция $y = \operatorname{tg} x$ с областью определения $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

г) $y = \operatorname{arcctg} x$

Меняя $x$ и $y$ местами, получаем $x = \operatorname{arcctg} y$, что эквивалентно $y = \operatorname{ctg} x$. Исходная функция $y = \operatorname{arcctg} x$ имеет область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$ и область значений $E(f) = (0, \pi)$. У обратной функции $y = \phi(x) = \operatorname{ctg} x$ область определения $D(\phi) = (0, \pi)$, а область значений $E(\phi) = (-\infty, +\infty)$.

Графики исходной функции $y = \operatorname{arcctg} x$ (синий) и обратной ей функции $y = \operatorname{ctg} x$ (красный) симметричны относительно прямой $y = x$ (зеленая пунктирная линия). Горизонтальные асимптоты $y = 0$ и $y = \pi$ для арккотангенса соответствуют вертикальным асимптотам $x = 0$ и $x = \pi$ для котангенса.

Ответ: Обратная функция $y = \operatorname{ctg} x$ с областью определения $x \in (0, \pi)$.