Номер 3.13, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Обратные функции. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 3.13, страница 79.
№3.13 (с. 79)
Условие. №3.13 (с. 79)
скриншот условия

3.13 Функция $y = f(x)$ задана на интервале $(a; b)$. На каком интервале задана обратная к ней функция $y = \phi(x)$, если функция $y = f(x)$:
a) возрастает на интервале $(a; b)$;
б) убывает на интервале $(a; b)$?
Решение 1. №3.13 (с. 79)


Решение 2. №3.13 (с. 79)

Решение 4. №3.13 (с. 79)
По определению, область определения $D(\phi)$ обратной функции $y = \phi(x)$ совпадает с областью значений $E(f)$ исходной функции $y = f(x)$. Для существования обратной функции на интервале, функция должна быть на нем строго монотонной (возрастающей или убывающей), что и дано в условии. Таким образом, наша задача — найти область значений функции $f(x)$ в каждом из двух случаев.
а) функция $y = f(x)$ возрастает на интервале $(a; b)$
Если функция $f(x)$ строго возрастает на интервале $(a; b)$, то для любых $x_1, x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. Это означает, что по мере того, как аргумент $x$ увеличивается от $a$ до $b$, значение функции $f(x)$ также увеличивается. Самые малые значения функция будет принимать вблизи точки $a$, а самые большие — вблизи точки $b$. Поскольку интервал $(a; b)$ открытый, функция не достигает своих точных нижней и верхней граней, а лишь стремится к ним. Таким образом, область значений $E(f)$ — это открытый интервал, ограниченный предельными значениями функции на концах ее области определения:
- Нижняя граница (инфимум) множества значений: $A = \lim_{x \to a^+} f(x)$
- Верхняя граница (супремум) множества значений: $B = \lim_{x \to b^-} f(x)$
Так как $f(x)$ возрастает, $A < B$. Область значений $E(f)$ есть интервал $(A; B)$. Следовательно, область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с $E(f)$.
Ответ: обратная функция $y=\phi(x)$ задана на интервале $(\lim_{x \to a^+} f(x); \lim_{x \to b^-} f(x))$.
б) функция $y = f(x)$ убывает на интервале $(a; b)$
Если функция $f(x)$ строго убывает на интервале $(a; b)$, то для любых $x_1, x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$. Это означает, что по мере того, как аргумент $x$ увеличивается от $a$ до $b$, значение функции $f(x)$ уменьшается. Самые большие значения функция будет принимать вблизи точки $a$, а самые малые — вблизи точки $b$. Область значений $E(f)$ также будет открытым интервалом, ограниченным предельными значениями:
- Нижняя граница (инфимум) множества значений: $B = \lim_{x \to b^-} f(x)$
- Верхняя граница (супремум) множества значений: $A = \lim_{x \to a^+} f(x)$
Так как $f(x)$ убывает, $A > B$. Область значений $E(f)$ есть интервал $(B; A)$. Следовательно, область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с $E(f)$.
Ответ: обратная функция $y=\phi(x)$ задана на интервале $(\lim_{x \to b^-} f(x); \lim_{x \to a^+} f(x))$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3.13 расположенного на странице 79 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.13 (с. 79), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.