Номер 3.13, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 3. Обратные функции - номер 3.13, страница 79.

Условие.

3.13 Функция $y = f(x)$ задана на интервале $(a; b)$. На каком интервале задана обратная к ней функция $y = \phi(x)$, если функция $y = f(x)$:

a) возрастает на интервале $(a; b)$;

б) убывает на интервале $(a; b)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

По определению, область определения $D(\phi)$ обратной функции $y = \phi(x)$ совпадает с областью значений $E(f)$ исходной функции $y = f(x)$. Для существования обратной функции на интервале, функция должна быть на нем строго монотонной (возрастающей или убывающей), что и дано в условии. Таким образом, наша задача — найти область значений функции $f(x)$ в каждом из двух случаев.

а) функция $y = f(x)$ возрастает на интервале $(a; b)$
Если функция $f(x)$ строго возрастает на интервале $(a; b)$, то для любых $x_1, x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. Это означает, что по мере того, как аргумент $x$ увеличивается от $a$ до $b$, значение функции $f(x)$ также увеличивается. Самые малые значения функция будет принимать вблизи точки $a$, а самые большие — вблизи точки $b$. Поскольку интервал $(a; b)$ открытый, функция не достигает своих точных нижней и верхней граней, а лишь стремится к ним. Таким образом, область значений $E(f)$ — это открытый интервал, ограниченный предельными значениями функции на концах ее области определения:

• Нижняя граница (инфимум) множества значений: $A = \lim_{x \to a^+} f(x)$
• Верхняя граница (супремум) множества значений: $B = \lim_{x \to b^-} f(x)$

Так как $f(x)$ возрастает, $A < B$. Область значений $E(f)$ есть интервал $(A; B)$. Следовательно, область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с $E(f)$.
Ответ: обратная функция $y=\phi(x)$ задана на интервале $(\lim_{x \to a^+} f(x); \lim_{x \to b^-} f(x))$.

б) функция $y = f(x)$ убывает на интервале $(a; b)$
Если функция $f(x)$ строго убывает на интервале $(a; b)$, то для любых $x_1, x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$. Это означает, что по мере того, как аргумент $x$ увеличивается от $a$ до $b$, значение функции $f(x)$ уменьшается. Самые большие значения функция будет принимать вблизи точки $a$, а самые малые — вблизи точки $b$. Область значений $E(f)$ также будет открытым интервалом, ограниченным предельными значениями:

• Нижняя граница (инфимум) множества значений: $B = \lim_{x \to b^-} f(x)$
• Верхняя граница (супремум) множества значений: $A = \lim_{x \to a^+} f(x)$

Так как $f(x)$ убывает, $A > B$. Область значений $E(f)$ есть интервал $(B; A)$. Следовательно, область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с $E(f)$.
Ответ: обратная функция $y=\phi(x)$ задана на интервале $(\lim_{x \to b^-} f(x); \lim_{x \to a^+} f(x))$.