Номер 3.13, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 3. Обратные функции. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 3.13, страница 79.

№3.13 (с. 79)
Условие. №3.13 (с. 79)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 79, номер 3.13, Условие

3.13 Функция $y = f(x)$ задана на интервале $(a; b)$. На каком интервале задана обратная к ней функция $y = \phi(x)$, если функция $y = f(x)$:

a) возрастает на интервале $(a; b)$;

б) убывает на интервале $(a; b)$?

Решение 1. №3.13 (с. 79)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 79, номер 3.13, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 79, номер 3.13, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №3.13 (с. 79)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 79, номер 3.13, Решение 2
Решение 4. №3.13 (с. 79)

По определению, область определения $D(\phi)$ обратной функции $y = \phi(x)$ совпадает с областью значений $E(f)$ исходной функции $y = f(x)$. Для существования обратной функции на интервале, функция должна быть на нем строго монотонной (возрастающей или убывающей), что и дано в условии. Таким образом, наша задача — найти область значений функции $f(x)$ в каждом из двух случаев.

а) функция $y = f(x)$ возрастает на интервале $(a; b)$
Если функция $f(x)$ строго возрастает на интервале $(a; b)$, то для любых $x_1, x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$. Это означает, что по мере того, как аргумент $x$ увеличивается от $a$ до $b$, значение функции $f(x)$ также увеличивается. Самые малые значения функция будет принимать вблизи точки $a$, а самые большие — вблизи точки $b$. Поскольку интервал $(a; b)$ открытый, функция не достигает своих точных нижней и верхней граней, а лишь стремится к ним. Таким образом, область значений $E(f)$ — это открытый интервал, ограниченный предельными значениями функции на концах ее области определения:

  • Нижняя граница (инфимум) множества значений: $A = \lim_{x \to a^+} f(x)$
  • Верхняя граница (супремум) множества значений: $B = \lim_{x \to b^-} f(x)$

Так как $f(x)$ возрастает, $A < B$. Область значений $E(f)$ есть интервал $(A; B)$. Следовательно, область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с $E(f)$.
Ответ: обратная функция $y=\phi(x)$ задана на интервале $(\lim_{x \to a^+} f(x); \lim_{x \to b^-} f(x))$.

б) функция $y = f(x)$ убывает на интервале $(a; b)$
Если функция $f(x)$ строго убывает на интервале $(a; b)$, то для любых $x_1, x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$. Это означает, что по мере того, как аргумент $x$ увеличивается от $a$ до $b$, значение функции $f(x)$ уменьшается. Самые большие значения функция будет принимать вблизи точки $a$, а самые малые — вблизи точки $b$. Область значений $E(f)$ также будет открытым интервалом, ограниченным предельными значениями:

  • Нижняя граница (инфимум) множества значений: $B = \lim_{x \to b^-} f(x)$
  • Верхняя граница (супремум) множества значений: $A = \lim_{x \to a^+} f(x)$

Так как $f(x)$ убывает, $A > B$. Область значений $E(f)$ есть интервал $(B; A)$. Следовательно, область определения обратной функции $D(\phi)$ совпадает с $E(f)$.
Ответ: обратная функция $y=\phi(x)$ задана на интервале $(\lim_{x \to b^-} f(x); \lim_{x \to a^+} f(x))$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3.13 расположенного на странице 79 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.13 (с. 79), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.