Номер 3.6, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 3. Обратные функции - номер 3.6, страница 78.

Условие.

3.6 а) Какие функции называют взаимно обратными? Какими свойствами обладают взаимно обратные функции?

б) Каким свойством обладают графики взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = \varphi (x)$?

в) В чём заключается достаточное условие существования функции, обратной к данной непрерывной функции?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Функцию $y = g(x)$, определенную на множестве $Y$, называют обратной к функции $y = f(x)$, определенной на множестве $X$ и имеющей множество значений $Y$, если для любого $x$ из области определения $f$ выполняется равенство $g(f(x)) = x$ и для любого $y$ из области значений $f$ (которая является областью определения $g$) выполняется равенство $f(g(y)) = y$. Функции $f(x)$ и $g(x)$ в этом случае называют взаимно обратными.

Свойства взаимно обратных функций:
1. Область определения прямой функции ($D(f)$) совпадает с областью значений обратной функции ($E(g)$), то есть $D(f) = E(g)$.
2. Область значений прямой функции ($E(f)$) совпадает с областью определения обратной функции ($D(g)$), то есть $E(f) = D(g)$.
3. Если функция $f(x)$ возрастает (убывает) на некотором промежутке, то и обратная к ней функция $g(x)$ также возрастает (убывает) на соответствующем промежутке.
4. Если функция имеет обратную, то она единственна.

Ответ: Функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$ называются взаимно обратными, если выполняются тождества $g(f(x))=x$ и $f(g(x))=x$. Их основные свойства: области определения и значений меняются местами; сохраняется характер монотонности (возрастание/убывание).

б) Графики взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = \phi(x)$ симметричны друг другу относительно прямой $y = x$, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Это свойство вытекает из определения обратной функции: если точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$, то есть $b = f(a)$, то точка с координатами $(b, a)$ будет принадлежать графику обратной функции $y = \phi(x)$, так как $a = \phi(b)$. Точки $(a, b)$ и $(b, a)$ являются симметричными относительно прямой $y=x$.

Ответ: Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$.

в) Достаточное условие существования функции, обратной к данной непрерывной на некотором промежутке функции $y = f(x)$, заключается в её строгой монотонности на этом промежутке. Иными словами, если непрерывная функция на промежутке $I$ только возрастает или только убывает, то она является обратимой. Это гарантирует, что каждому значению $y$ из области значений функции соответствует единственное значение $x$ из её области определения.

Ответ: Достаточным условием существования обратной функции для непрерывной функции является её строгая монотонность (строгое возрастание или строгое убывание) на всей области определения.