Номер 3.6, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Обратные функции. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 3.6, страница 78.
№3.6 (с. 78)
Условие. №3.6 (с. 78)
скриншот условия

3.6 а) Какие функции называют взаимно обратными? Какими свойствами обладают взаимно обратные функции?
б) Каким свойством обладают графики взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = \varphi (x)$?
в) В чём заключается достаточное условие существования функции, обратной к данной непрерывной функции?
Решение 1. №3.6 (с. 78)



Решение 2. №3.6 (с. 78)

Решение 4. №3.6 (с. 78)
а) Функцию $y = g(x)$, определенную на множестве $Y$, называют обратной к функции $y = f(x)$, определенной на множестве $X$ и имеющей множество значений $Y$, если для любого $x$ из области определения $f$ выполняется равенство $g(f(x)) = x$ и для любого $y$ из области значений $f$ (которая является областью определения $g$) выполняется равенство $f(g(y)) = y$. Функции $f(x)$ и $g(x)$ в этом случае называют взаимно обратными.
Свойства взаимно обратных функций:
1. Область определения прямой функции ($D(f)$) совпадает с областью значений обратной функции ($E(g)$), то есть $D(f) = E(g)$.
2. Область значений прямой функции ($E(f)$) совпадает с областью определения обратной функции ($D(g)$), то есть $E(f) = D(g)$.
3. Если функция $f(x)$ возрастает (убывает) на некотором промежутке, то и обратная к ней функция $g(x)$ также возрастает (убывает) на соответствующем промежутке.
4. Если функция имеет обратную, то она единственна.
Ответ: Функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$ называются взаимно обратными, если выполняются тождества $g(f(x))=x$ и $f(g(x))=x$. Их основные свойства: области определения и значений меняются местами; сохраняется характер монотонности (возрастание/убывание).
б) Графики взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = \phi(x)$ симметричны друг другу относительно прямой $y = x$, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Это свойство вытекает из определения обратной функции: если точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$, то есть $b = f(a)$, то точка с координатами $(b, a)$ будет принадлежать графику обратной функции $y = \phi(x)$, так как $a = \phi(b)$. Точки $(a, b)$ и $(b, a)$ являются симметричными относительно прямой $y=x$.
Ответ: Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$.
в) Достаточное условие существования функции, обратной к данной непрерывной на некотором промежутке функции $y = f(x)$, заключается в её строгой монотонности на этом промежутке. Иными словами, если непрерывная функция на промежутке $I$ только возрастает или только убывает, то она является обратимой. Это гарантирует, что каждому значению $y$ из области значений функции соответствует единственное значение $x$ из её области определения.
Ответ: Достаточным условием существования обратной функции для непрерывной функции является её строгая монотонность (строгое возрастание или строгое убывание) на всей области определения.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3.6 расположенного на странице 78 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.6 (с. 78), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.