Номер 3.7, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 3. Обратные функции - номер 3.7, страница 78.

Условие.

3.7 Найдите функцию $x = \varphi(y)$, обратную к функции:

а) $y = x^4, x \in [0; +\infty);$

б) $y = x^4; x \in (-\infty; 0];$

в) $y = x^{2m}, x \in (0; +\infty), m \in N;$

г) $y = x^{2m}, x \in (-\infty; 0], m \in N;$

д) $y = x^{2m+1}, x \in (-\infty; +\infty), m \in N;$

е) $y = a^x, x \in (-\infty; +\infty), a > 0, a \ne 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дана функция $y = x^4$ с областью определения $x \in [0; +\infty)$. На этом промежутке функция является монотонно возрастающей, а значит, обратимой. Область значений функции на данном промежутке $y \in [0; +\infty)$. Для нахождения обратной функции $x = \phi(y)$ выразим $x$ из данного уравнения.
$y = x^4$
Извлекаем корень четвертой степени из обеих частей: $\sqrt[4]{y} = \sqrt[4]{x^4} = |x|$.
Так как по условию $x \ge 0$, то $|x| = x$.
Следовательно, обратная функция $x = \sqrt[4]{y}$. Областью определения этой функции является $y \in [0; +\infty)$.
Ответ: $x = \sqrt[4]{y}$.

б) Дана функция $y = x^4$ с областью определения $x \in (-\infty; 0]$. На этом промежутке функция является монотонно убывающей, а значит, обратимой. Область значений функции на данном промежутке $y \in [0; +\infty)$. Выразим $x$ из уравнения.
$y = x^4$
Извлекаем корень четвертой степени: $\sqrt[4]{y} = |x|$.
Так как по условию $x \le 0$, то $|x| = -x$.
Получаем $-x = \sqrt[4]{y}$, откуда $x = -\sqrt[4]{y}$.
Областью определения обратной функции является $y \in [0; +\infty)$.
Ответ: $x = -\sqrt[4]{y}$.

в) Дана функция $y = x^{2m}$, где $m \in N$, с областью определения $x \in (0; +\infty)$. Так как $2m$ — четное число, эта задача является обобщением задачи а). На промежутке $(0; +\infty)$ функция монотонно возрастает. Область значений $y \in (0; +\infty)$.
$y = x^{2m}$
Извлекаем корень степени $2m$: $\sqrt[2m]{y} = |x|$.
Поскольку $x > 0$, то $|x| = x$.
Следовательно, $x = \sqrt[2m]{y}$.
Ответ: $x = \sqrt[2m]{y}$.

г) Дана функция $y = x^{2m}$, где $m \in N$, с областью определения $x \in (-\infty; 0]$. Так как $2m$ — четное число, эта задача является обобщением задачи б). На промежутке $(-\infty; 0]$ функция монотонно убывает. Область значений $y \in [0; +\infty)$.
$y = x^{2m}$
Извлекаем корень степени $2m$: $\sqrt[2m]{y} = |x|$.
Поскольку $x \le 0$, то $|x| = -x$.
Отсюда $-x = \sqrt[2m]{y}$, то есть $x = -\sqrt[2m]{y}$.
Ответ: $x = -\sqrt[2m]{y}$.

д) Дана функция $y = x^{2m+1}$, где $m \in N$, с областью определения $x \in (-\infty; +\infty)$. Показатель степени $2m+1$ является нечетным числом. Функция с нечетным натуральным показателем степени является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Область ее значений также вся числовая ось, т.е. $y \in (-\infty; +\infty)$.
$y = x^{2m+1}$
Извлекаем корень нечетной степени $2m+1$. Для нечетных корней нет ограничений на знак подкоренного выражения.
$x = \sqrt[2m+1]{y}$.
Ответ: $x = \sqrt[2m+1]{y}$.

е) Дана функция $y = a^x$, где $a > 0, a \neq 1$, с областью определения $x \in (-\infty; +\infty)$. Это показательная функция. Она является монотонной на всей области определения (возрастает при $a > 1$, убывает при $0 < a < 1$). Область значений показательной функции $y \in (0; +\infty)$.
Обратной к показательной функции является логарифмическая функция. По определению логарифма, из $y = a^x$ следует, что $x$ есть логарифм $y$ по основанию $a$.
$x = \log_a y$.
Область определения логарифмической функции $y > 0$, что совпадает с областью значений исходной функции.
Ответ: $x = \log_a y$.