Номер 3.5, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Обратные функции. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 3.5, страница 75.
№3.5 (с. 75)
Условие. №3.5 (с. 75)
скриншот условия

3.5 В задании 3.4 найдите функцию $y = \phi(x)$, обратную к данной функции $y = f(x)$, постройте графики обеих функций в одной системе координат.
Решение 1. №3.5 (с. 75)






Решение 2. №3.5 (с. 75)




Решение 4. №3.5 (с. 75)
К сожалению, в предоставленном изображении отсутствует текст задания 3.4, в котором должна быть указана исходная функция $y = f(x)$. Без этой информации невозможно найти обратную функцию и построить графики в соответствии с заданием 3.5.
Однако я могу продемонстрировать общий алгоритм решения на конкретном примере. Предположим, что в задании 3.4 была дана следующая функция и ее область определения:
$y = f(x) = x^2$ при $x \ge 0$.
Ниже представлено развернутое решение для этого примера.
Найти функцию $y = \phi(x)$, обратную к данной функции $y = f(x)$
Для нахождения обратной функции необходимо выполнить следующие шаги:
- Убедиться, что функция является взаимно-однозначной (монотонной) на заданной области определения. Функция $f(x) = x^2$ на промежутке $[0, +\infty)$ является строго возрастающей, а значит, для нее существует обратная функция.
- В уравнении $y = x^2$ поменять местами переменные $x$ и $y$. Получим уравнение: $x = y^2$.
- Выразить $y$ из полученного уравнения $x = y^2$. Это дает $y = \pm\sqrt{x}$.
- Выбрать правильный знак. Область определения исходной функции $D(f) = [0, +\infty)$, а область значений $E(f) = [0, +\infty)$. Для обратной функции область определения $D(\phi)$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, а область значений $E(\phi)$ совпадает с областью определения исходной функции $D(f)$. Таким образом, для обратной функции $y=\phi(x)$ имеем: $D(\phi) = [0, +\infty)$ и $E(\phi) = [0, +\infty)$. Поскольку область значений обратной функции должна быть $[0, +\infty)$, мы должны выбрать знак «+» перед корнем.
Таким образом, обратная функция имеет вид $y = \sqrt{x}$.
Ответ: $y = \phi(x) = \sqrt{x}$.
Построить графики обеих функций в одной системе координат
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.
1. График исходной функции $y = f(x) = x^2$ при $x \ge 0$.
Это правая ветвь параболы, вершина которой находится в начале координат. Построим ее по нескольким точкам:
- при $x=0$, $y=0^2=0$ → точка $(0, 0)$
- при $x=1$, $y=1^2=1$ → точка $(1, 1)$
- при $x=2$, $y=2^2=4$ → точка $(2, 4)$
2. График обратной функции $y = \phi(x) = \sqrt{x}$.
Это график функции квадратного корня. Его также можно построить по точкам, которые будут симметричны точкам исходной функции относительно прямой $y=x$. Для каждой точки $(a, b)$ на графике $f(x)$ соответствующая точка $(b, a)$ будет лежать на графике $\phi(x)$:
- точка $(0, 0)$
- точка $(1, 1)$
- точка $(4, 2)$
3. Построение в одной системе координат.
Начертив оба графика в одной декартовой системе координат, а также прямую $y=x$, можно будет наглядно увидеть их симметрию. График $y=x^2$ при $x \ge 0$ и график $y=\sqrt{x}$ являются зеркальным отражением друг друга относительно прямой $y=x$.
Ответ: Графики функций $y=x^2$ (при $x \ge 0$) и $y=\sqrt{x}$ представляют собой две кривые, расположенные в первой координатной четверти, которые симметричны друг другу относительно прямой $y=x$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3.5 расположенного на странице 75 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.5 (с. 75), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.