Номер 3.5, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 3. Обратные функции - номер 3.5, страница 75.

Условие.

3.5 В задании 3.4 найдите функцию $y = \phi(x)$, обратную к данной функции $y = f(x)$, постройте графики обеих функций в одной системе координат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

К сожалению, в предоставленном изображении отсутствует текст задания 3.4, в котором должна быть указана исходная функция $y = f(x)$. Без этой информации невозможно найти обратную функцию и построить графики в соответствии с заданием 3.5.

Однако я могу продемонстрировать общий алгоритм решения на конкретном примере. Предположим, что в задании 3.4 была дана следующая функция и ее область определения:

$y = f(x) = x^2$ при $x \ge 0$.

Ниже представлено развернутое решение для этого примера.

Найти функцию $y = \phi(x)$, обратную к данной функции $y = f(x)$

Для нахождения обратной функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Убедиться, что функция является взаимно-однозначной (монотонной) на заданной области определения. Функция $f(x) = x^2$ на промежутке $[0, +\infty)$ является строго возрастающей, а значит, для нее существует обратная функция.
2. В уравнении $y = x^2$ поменять местами переменные $x$ и $y$. Получим уравнение: $x = y^2$.
3. Выразить $y$ из полученного уравнения $x = y^2$. Это дает $y = \pm\sqrt{x}$.
4. Выбрать правильный знак. Область определения исходной функции $D(f) = [0, +\infty)$, а область значений $E(f) = [0, +\infty)$. Для обратной функции область определения $D(\phi)$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, а область значений $E(\phi)$ совпадает с областью определения исходной функции $D(f)$. Таким образом, для обратной функции $y=\phi(x)$ имеем: $D(\phi) = [0, +\infty)$ и $E(\phi) = [0, +\infty)$. Поскольку область значений обратной функции должна быть $[0, +\infty)$, мы должны выбрать знак «+» перед корнем.

Таким образом, обратная функция имеет вид $y = \sqrt{x}$.

Ответ: $y = \phi(x) = \sqrt{x}$.

Построить графики обеих функций в одной системе координат

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.

1. График исходной функции $y = f(x) = x^2$ при $x \ge 0$.
Это правая ветвь параболы, вершина которой находится в начале координат. Построим ее по нескольким точкам:

• при $x=0$, $y=0^2=0$ → точка $(0, 0)$
• при $x=1$, $y=1^2=1$ → точка $(1, 1)$
• при $x=2$, $y=2^2=4$ → точка $(2, 4)$

2. График обратной функции $y = \phi(x) = \sqrt{x}$.
Это график функции квадратного корня. Его также можно построить по точкам, которые будут симметричны точкам исходной функции относительно прямой $y=x$. Для каждой точки $(a, b)$ на графике $f(x)$ соответствующая точка $(b, a)$ будет лежать на графике $\phi(x)$:

• точка $(0, 0)$
• точка $(1, 1)$
• точка $(4, 2)$

3. Построение в одной системе координат.
Начертив оба графика в одной декартовой системе координат, а также прямую $y=x$, можно будет наглядно увидеть их симметрию. График $y=x^2$ при $x \ge 0$ и график $y=\sqrt{x}$ являются зеркальным отражением друг друга относительно прямой $y=x$.

Ответ: Графики функций $y=x^2$ (при $x \ge 0$) и $y=\sqrt{x}$ представляют собой две кривые, расположенные в первой координатной четверти, которые симметричны друг другу относительно прямой $y=x$.