Номер 3.11, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 3. Обратные функции - номер 3.11, страница 79.

Условие.

3.11 Приведите пример функции, обратной самой себе.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Функция $f(x)$ называется обратной самой себе (или инволюцией), если она является своей собственной обратной функцией, то есть $f^{-1}(x) = f(x)$. Это условие эквивалентно тождеству $f(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения функции. Геометрически график такой функции симметричен относительно прямой $y=x$.

Ниже приведено несколько примеров таких функций.

Пример 1: Функция $f(x) = \frac{1}{x}$

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{x}$. Её область определения $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Чтобы найти для нее обратную функцию, в уравнении $y = \frac{1}{x}$ выразим $x$ через $y$. Получаем $x = \frac{1}{y}$.

Теперь, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде, поменяем местами переменные $x$ и $y$: $y = \frac{1}{x}$. Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{1}{x}$, что совпадает с исходной функцией $f(x)$.

Можно также проверить выполнение тождества $f(f(x)) = x$:$f(f(x)) = f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{1/x} = x$.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{x}$.

Пример 2: Функция $f(x) = c - x$

Рассмотрим функцию $f(x) = c - x$, где $c$ – произвольная действительная константа. Область определения этой функции $D(f) = \mathbb{R}$.

Найдем обратную функцию. Из уравнения $y = c - x$ выражаем $x$: $x = c - y$.

Меняем местами $x$ и $y$ и получаем $y = c - x$. Следовательно, $f^{-1}(x) = c - x$, что равносильно $f^{-1}(x) = f(x)$.

Проверим тождество $f(f(x)) = x$:$f(f(x)) = f(c-x) = c - (c-x) = c - c + x = x$.

Частным, но очень распространенным случаем является функция $f(x) = -x$ (здесь $c=0$).

Ответ: $f(x) = c - x$ (где $c$ - любая константа).

Пример 3: Тождественная функция $f(x) = x$

Это самый простой пример. Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$.

Если $y=x$, то и $x=y$. Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x)=x$, что совпадает с исходной $f(x)$.

Проверка тождества: $f(f(x)) = f(x) = x$.

Ответ: $f(x) = x$.