Номер 3.11, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Обратные функции. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 3.11, страница 79.
№3.11 (с. 79)
Условие. №3.11 (с. 79)
скриншот условия

3.11 Приведите пример функции, обратной самой себе.
Решение 1. №3.11 (с. 79)

Решение 2. №3.11 (с. 79)

Решение 3. №3.11 (с. 79)

Решение 4. №3.11 (с. 79)
Функция $f(x)$ называется обратной самой себе (или инволюцией), если она является своей собственной обратной функцией, то есть $f^{-1}(x) = f(x)$. Это условие эквивалентно тождеству $f(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения функции. Геометрически график такой функции симметричен относительно прямой $y=x$.
Ниже приведено несколько примеров таких функций.
Пример 1: Функция $f(x) = \frac{1}{x}$
Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{x}$. Её область определения $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
Чтобы найти для нее обратную функцию, в уравнении $y = \frac{1}{x}$ выразим $x$ через $y$. Получаем $x = \frac{1}{y}$.
Теперь, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде, поменяем местами переменные $x$ и $y$: $y = \frac{1}{x}$. Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{1}{x}$, что совпадает с исходной функцией $f(x)$.
Можно также проверить выполнение тождества $f(f(x)) = x$:$f(f(x)) = f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{1/x} = x$.
Ответ: $f(x) = \frac{1}{x}$.
Пример 2: Функция $f(x) = c - x$
Рассмотрим функцию $f(x) = c - x$, где $c$ – произвольная действительная константа. Область определения этой функции $D(f) = \mathbb{R}$.
Найдем обратную функцию. Из уравнения $y = c - x$ выражаем $x$: $x = c - y$.
Меняем местами $x$ и $y$ и получаем $y = c - x$. Следовательно, $f^{-1}(x) = c - x$, что равносильно $f^{-1}(x) = f(x)$.
Проверим тождество $f(f(x)) = x$:$f(f(x)) = f(c-x) = c - (c-x) = c - c + x = x$.
Частным, но очень распространенным случаем является функция $f(x) = -x$ (здесь $c=0$).
Ответ: $f(x) = c - x$ (где $c$ - любая константа).
Пример 3: Тождественная функция $f(x) = x$
Это самый простой пример. Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$.
Если $y=x$, то и $x=y$. Таким образом, обратная функция $f^{-1}(x)=x$, что совпадает с исходной $f(x)$.
Проверка тождества: $f(f(x)) = f(x) = x$.
Ответ: $f(x) = x$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3.11 расположенного на странице 79 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.11 (с. 79), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.