Номер 3.18, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3. Обратные функции. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 3.18, страница 88.

Условие.

3.18 Докажите, что для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливо равенство

$\text{arctg } x + \text{arcctg } x = \frac{\pi}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства равенства рассмотрим функцию $f(x) = \arctg x + \arcctg x$.

Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, то есть $x \in \mathbb{R}$, так как арктангенс и арккотангенс определены для любого действительного $x$.

Найдем производную функции $f(x)$. Используем известные формулы производных для обратных тригонометрических функций:

$(\arctg x)' = \frac{1}{1+x^2}$

$(\arcctg x)' = -\frac{1}{1+x^2}$

Производная функции $f(x)$ является суммой производных ее слагаемых:

$f'(x) = (\arctg x + \arcctg x)' = (\arctg x)' + (\arcctg x)' = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 0$.

Так как производная функции $f(x)$ равна нулю для всех $x \in \mathbb{R}$, это означает, что сама функция является константой, то есть $f(x) = C$ для некоторой постоянной $C$.

Чтобы найти значение этой константы $C$, достаточно вычислить значение функции $f(x)$ в любой удобной точке. Возьмем, например, $x=1$.

$C = f(1) = \arctg(1) + \arcctg(1)$.

По определению, $\arctg(1) = \frac{\pi}{4}$ и $\arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, константа $C$ равна:

$C = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Поскольку функция $f(x)$ постоянна и равна $\frac{\pi}{2}$, мы доказали, что для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливо равенство:

$\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}$ доказано для всех $x \in \mathbb{R}$.