Страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

3.18 Докажите, что для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливо равенство

$\text{arctg } x + \text{arcctg } x = \frac{\pi}{2}$.

Для доказательства равенства рассмотрим функцию $f(x) = \arctg x + \arcctg x$.

Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, то есть $x \in \mathbb{R}$, так как арктангенс и арккотангенс определены для любого действительного $x$.

Найдем производную функции $f(x)$. Используем известные формулы производных для обратных тригонометрических функций:

$(\arctg x)' = \frac{1}{1+x^2}$

$(\arcctg x)' = -\frac{1}{1+x^2}$

Производная функции $f(x)$ является суммой производных ее слагаемых:

$f'(x) = (\arctg x + \arcctg x)' = (\arctg x)' + (\arcctg x)' = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 0$.

Так как производная функции $f(x)$ равна нулю для всех $x \in \mathbb{R}$, это означает, что сама функция является константой, то есть $f(x) = C$ для некоторой постоянной $C$.

Чтобы найти значение этой константы $C$, достаточно вычислить значение функции $f(x)$ в любой удобной точке. Возьмем, например, $x=1$.

$C = f(1) = \arctg(1) + \arcctg(1)$.

По определению, $\arctg(1) = \frac{\pi}{4}$ и $\arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, константа $C$ равна:

$C = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Поскольку функция $f(x)$ постоянна и равна $\frac{\pi}{2}$, мы доказали, что для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливо равенство:

$\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2}$ доказано для всех $x \in \mathbb{R}$.

3.19 Докажите, что:

a) для любого $x \in [-1; 1]$ справедливы равенства $ \cos (\arccos x) = x $, $ \sin (\arccos x) = \sqrt{1 - x^2} $

б) для любого $x \in (-1; 1)$ справедливо равенство $ \operatorname{ctg} (\arccos x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} $

в) для любого $x \in [-1; 0) \cup (0; 1]$ справедливо равенство $ \operatorname{tg} (\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} $

г) для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливы равенства $ \operatorname{tg} (\operatorname{arctg} x) = x $, $ \sin (\operatorname{arctg} x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $, $ \cos (\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $

д) для любого $x \ne 0$ справедливо равенство $ \operatorname{ctg} (\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{x} $

е) для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливы равенства $ \operatorname{ctg} (\operatorname{arcctg} x) = x $, $ \sin (\operatorname{arcctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $, $ \cos (\operatorname{arcctg} x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $

ж) для любого $x \ne 0$ справедливо равенство $ \operatorname{tg} (\operatorname{arcctg} x) = \frac{1}{x} $

а) для любого $x \in [-1; 1]$ справедливы равенства $\cos(\arccos x) = x, \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$;

Докажем первое равенство: $\cos(\arccos x) = x$.
По определению арккосинуса, $\arccos x$ — это такое число (угол) $y$ из отрезка $[0; \pi]$, что $\cos y = x$. Пусть $y = \arccos x$. Тогда по определению $\cos y = x$ для $x \in [-1; 1]$ и $y \in [0; \pi]$. Подставляя $y$ обратно, получаем $\cos(\arccos x) = x$. Это равенство является определением арккосинуса и справедливо для всей его области определения, то есть для $x \in [-1; 1]$.

Докажем второе равенство: $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$.
Пусть $y = \arccos x$. Тогда $\cos y = x$ и $y \in [0; \pi]$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$. Отсюда $\sin^2 y = 1 - \cos^2 y$. Подставив $\cos y = x$, получим $\sin^2 y = 1 - x^2$. Следовательно, $\sin y = \pm\sqrt{1 - x^2}$. Поскольку $y = \arccos x$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, а на этом отрезке синус неотрицателен ($\sin y \ge 0$), мы выбираем знак плюс. Таким образом, $\sin y = \sqrt{1 - x^2}$. Подставляя $y = \arccos x$, получаем $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$. Равенство справедливо для $x \in [-1; 1]$.

Ответ: Равенства доказаны.

б) для любого $x \in (-1; 1)$ справедливо равенство $\mathrm{ctg}(\arccos x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$;

Пусть $y = \arccos x$. Тогда $\cos y = x$ и $y \in [0; \pi]$. По определению котангенса, $\mathrm{ctg} y = \frac{\cos y}{\sin y}$. Из пункта а) мы знаем, что $\cos(\arccos x) = x$ и $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$. Подставим эти выражения: $\mathrm{ctg}(\arccos x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$. Это выражение определено, когда знаменатель не равен нулю, то есть $\sqrt{1 - x^2} \neq 0$, что эквивалентно $1 - x^2 > 0$, или $x^2 < 1$. Это означает, что $x \in (-1; 1)$, что соответствует условию задачи.

Ответ: Равенство доказано.

в) для любого $x \in [-1; 0) \cup (0; 1]$ справедливо равенство $\mathrm{tg}(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$;

Пусть $y = \arccos x$. Тогда $\cos y = x$ и $y \in [0; \pi]$. По определению тангенса, $\mathrm{tg} y = \frac{\sin y}{\cos y}$. Из пункта а) мы знаем, что $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$ и $\cos(\arccos x) = x$. Подставим эти выражения: $\mathrm{tg}(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$. Это выражение определено, когда знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$. Область определения арккосинуса — $x \in [-1; 1]$. Исключая $x=0$, получаем $x \in [-1; 0) \cup (0; 1]$, что соответствует условию задачи.

Ответ: Равенство доказано.

г) для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливы равенства $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\ x) = x, \sin(\mathrm{arctg}\ x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}, \cos(\mathrm{arctg}\ x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$;

Докажем первое равенство: $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\ x) = x$.
По определению арктангенса, $\mathrm{arctg}\ x$ — это такое число $y$ из интервала $(-\pi/2; \pi/2)$, что $\mathrm{tg}\ y = x$. Пусть $y = \mathrm{arctg}\ x$. Тогда по определению $\mathrm{tg}\ y = x$ для $x \in \mathbb{R}$ и $y \in (-\pi/2; \pi/2)$. Подставляя $y$ обратно, получаем $\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}\ x) = x$. Это равенство является определением арктангенса и справедливо для всей его области определения, то есть для $x \in \mathbb{R}$.

Докажем второе и третье равенства.
Пусть $y = \mathrm{arctg}\ x$. Тогда $\mathrm{tg}\ y = x$ и $y \in (-\pi/2; \pi/2)$. Воспользуемся тождеством $1 + \mathrm{tg}^2 y = \frac{1}{\cos^2 y}$. Отсюда $\cos^2 y = \frac{1}{1 + \mathrm{tg}^2 y}$. Подставив $\mathrm{tg}\ y = x$, получим $\cos^2 y = \frac{1}{1 + x^2}$. Следовательно, $\cos y = \pm\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$. Поскольку $y = \mathrm{arctg}\ x$ принадлежит интервалу $(-\pi/2; \pi/2)$, а на этом интервале косинус положителен ($\cos y > 0$), мы выбираем знак плюс. Таким образом, $\cos y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$, и $\cos(\mathrm{arctg}\ x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$. Теперь найдем синус. Из определения тангенса $\sin y = \mathrm{tg}\ y \cdot \cos y$. Подставляя известные выражения, получаем $\sin y = x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$. Следовательно, $\sin(\mathrm{arctg}\ x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$. Оба равенства справедливы для любого $x \in \mathbb{R}$, так как $1+x^2$ всегда положительно.

Ответ: Равенства доказаны.

д) для любого $x \neq 0$ справедливо равенство $\mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}\ x) = \frac{1}{x}$;

Пусть $y = \mathrm{arctg}\ x$. Тогда $\mathrm{tg}\ y = x$. Используем тождество $\mathrm{ctg}\ y = \frac{1}{\mathrm{tg}\ y}$. Подставляя $\mathrm{tg}\ y = x$, получаем $\mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}\ x) = \frac{1}{x}$. Данное равенство справедливо при условии, что $\mathrm{tg}\ y = x \neq 0$, что соответствует условию задачи.

Ответ: Равенство доказано.

е) для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливы равенства $\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}\ x) = x, \sin(\mathrm{arcctg}\ x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}, \cos(\mathrm{arcctg}\ x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$;

Докажем первое равенство: $\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}\ x) = x$.
По определению арккотангенса, $\mathrm{arcctg}\ x$ — это такое число $y$ из интервала $(0; \pi)$, что $\mathrm{ctg}\ y = x$. Пусть $y = \mathrm{arcctg}\ x$. Тогда по определению $\mathrm{ctg}\ y = x$ для $x \in \mathbb{R}$ и $y \in (0; \pi)$. Подставляя $y$ обратно, получаем $\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}\ x) = x$. Это равенство является определением арккотангенса и справедливо для $x \in \mathbb{R}$.

Докажем второе и третье равенства.
Пусть $y = \mathrm{arcctg}\ x$. Тогда $\mathrm{ctg}\ y = x$ и $y \in (0; \pi)$. Воспользуемся тождеством $1 + \mathrm{ctg}^2 y = \frac{1}{\sin^2 y}$. Отсюда $\sin^2 y = \frac{1}{1 + \mathrm{ctg}^2 y}$. Подставив $\mathrm{ctg}\ y = x$, получим $\sin^2 y = \frac{1}{1 + x^2}$. Следовательно, $\sin y = \pm\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$. Поскольку $y = \mathrm{arcctg}\ x$ принадлежит интервалу $(0; \pi)$, а на этом интервале синус положителен ($\sin y > 0$), мы выбираем знак плюс. Таким образом, $\sin y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$, и $\sin(\mathrm{arcctg}\ x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$. Теперь найдем косинус. Из определения котангенса $\cos y = \mathrm{ctg}\ y \cdot \sin y$. Подставляя известные выражения, получаем $\cos y = x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$. Следовательно, $\cos(\mathrm{arcctg}\ x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$. Оба равенства справедливы для любого $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Равенства доказаны.

ж) для любого $x \neq 0$ справедливо равенство $\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}\ x) = \frac{1}{x}$.

Пусть $y = \mathrm{arcctg}\ x$. Тогда $\mathrm{ctg}\ y = x$. Используем тождество $\mathrm{tg}\ y = \frac{1}{\mathrm{ctg}\ y}$. Подставляя $\mathrm{ctg}\ y = x$, получаем $\mathrm{tg}(\mathrm{arcctg}\ x) = \frac{1}{x}$. Данное равенство справедливо при условии, что $\mathrm{ctg}\ y = x \neq 0$, что соответствует условию задачи.

Ответ: Равенство доказано.

Постройте график функции (3.20—3.21):

3.20* а) $y = \cos (\arccos x)$

б) $y = \sin (\arccos x)$

в) $y = \operatorname{tg} (\arccos x)$

г) $y = \operatorname{ctg} (\arccos x)$

д) $y = \operatorname{tg} (\operatorname{arctg} x)$

е) $y = \operatorname{ctg} (\operatorname{arctg} x)$

ж) $y = \sin (\operatorname{arctg} x)$

з) $y = \cos (\operatorname{arctg} x)$

и) $y = \operatorname{ctg} (\operatorname{arcctg} x)$

к) $y = \operatorname{tg} (\operatorname{arcctg} x)$

л) $y = \sin (\operatorname{arcctg} x)$

м) $y = \cos (\operatorname{arcctg} x)$

а) $y = \cos(\arccos x)$
Область определения функции арккосинуса $D(\arccos x) = [-1, 1]$, следовательно, это и есть область определения для $y$. По определению обратной функции, $\cos(\arccos x) = x$ для всех $x \in [-1, 1]$. Таким образом, график функции $y = \cos(\arccos x)$ совпадает с графиком функции $y=x$ на отрезке $[-1, 1]$.
Ответ: График функции — это отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

б) $y = \sin(\arccos x)$
Область определения $D(y) = [-1, 1]$. Пусть $\alpha = \arccos x$. Тогда $\cos \alpha = x$ и $\alpha \in [0, \pi]$. На этом промежутке $\sin \alpha \ge 0$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - x^2}$. Таким образом, $y = \sqrt{1 - x^2}$. Графиком этой функции является верхняя полуокружность окружности $x^2 + y^2 = 1$ с центром в начале координат и радиусом 1.
Ответ: График функции — верхняя полуокружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом 1, заданная уравнением $y = \sqrt{1-x^2}$.

в) $y = \tg(\arccos x)$
Область определения $D(y) = [-1, 1]$. Однако, тангенс не определен, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$. Так как область значений арккосинуса $[0, \pi]$, мы должны исключить точку, где $\arccos x = \frac{\pi}{2}$, то есть $x=0$. Итак, $D(y) = [-1, 0) \cup (0, 1]$. Пусть $\alpha = \arccos x$. Тогда $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Из предыдущих пунктов мы знаем, что $\sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$ и $\cos(\arccos x) = x$. Следовательно, $y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$. График имеет вертикальную асимптоту $x=0$.
Ответ: График функции $y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ на области определения $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

г) $y = \ctg(\arccos x)$
Область определения $D(y) = [-1, 1]$. Котангенс не определен, когда его аргумент равен $\pi k$. Из области значений арккосинуса $[0, \pi]$ мы должны исключить точки, где $\arccos x = 0$ (т.е. $x=1$) и $\arccos x = \pi$ (т.е. $x=-1$). Итак, $D(y) = (-1, 1)$. Пусть $\alpha = \arccos x$. Тогда $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$. График функции проходит через начало координат и имеет вертикальные асимптоты $x=-1$ и $x=1$.
Ответ: График функции $y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ на интервале $x \in (-1, 1)$.

д) $y = \tg(\operatorname{arctg} x)$
Область определения арктангенса $D(\operatorname{arctg} x) = (-\infty, +\infty)$, что является и областью определения для $y$. По определению обратной функции, $\tg(\operatorname{arctg} x) = x$ для всех $x \in (-\infty, +\infty)$.
Ответ: График функции — прямая $y=x$.

е) $y = \ctg(\operatorname{arctg} x)$
Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Котангенс не определен, когда его аргумент равен $\pi k$. Область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, поэтому мы должны исключить точку, где $\operatorname{arctg} x = 0$, то есть $x=0$. Итак, $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Используя тождество $\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha}$, получаем $y = \frac{1}{x}$.
Ответ: График функции — гипербола $y = \frac{1}{x}$ с выколотой точкой $x=0$.

ж) $y = \sin(\operatorname{arctg} x)$
Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Пусть $\alpha = \operatorname{arctg} x$, тогда $\tg \alpha = x$. Из тождества $1+\ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$ следует, что $1+\frac{1}{x^2} = \frac{1}{\sin^2\alpha}$, откуда $\sin^2\alpha = \frac{x^2}{1+x^2}$. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ знаки $\sin\alpha$ и $\tg\alpha$ совпадают. Поэтому $\sin(\operatorname{arctg} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$. График функции представляет собой S-образную кривую, проходящую через начало координат и имеющую горизонтальные асимптоты $y=1$ при $x \to +\infty$ и $y=-1$ при $x \to -\infty$.
Ответ: График функции $y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.

з) $y = \cos(\operatorname{arctg} x)$
Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Пусть $\alpha = \operatorname{arctg} x$. Область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, на которой $\cos\alpha > 0$. Из тождества $1+\tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ получаем $1+x^2 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, откуда $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$. График функции — симметричная относительно оси OY "колоколообразная" кривая с максимумом в точке $(0, 1)$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.
Ответ: График функции $y = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

и) $y = \ctg(\operatorname{arcctg} x)$
Область определения арккотангенса $D(\operatorname{arcctg} x) = (-\infty, +\infty)$, что является и областью определения для $y$. По определению обратной функции, $\ctg(\operatorname{arcctg} x) = x$ для всех $x \in (-\infty, +\infty)$.
Ответ: График функции — прямая $y=x$.

к) $y = \tg(\operatorname{arcctg} x)$
Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Тангенс не определен, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2}+\pi k$. Область значений арккотангенса $(0, \pi)$, поэтому мы должны исключить точку, где $\operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}$, то есть $x=0$. Итак, $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Используя тождество $\tg\alpha = \frac{1}{\ctg\alpha}$, получаем $y = \frac{1}{x}$.
Ответ: График функции — гипербола $y=\frac{1}{x}$ с выколотой точкой $x=0$.

л) $y = \sin(\operatorname{arcctg} x)$
Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Пусть $\alpha = \operatorname{arcctg} x$. Область значений арккотангенса $(0, \pi)$, на которой $\sin\alpha > 0$. Из тождества $1+\ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$ получаем $1+x^2 = \frac{1}{\sin^2\alpha}$, откуда $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$. График этой функции совпадает с графиком из пункта з).
Ответ: График функции $y = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

м) $y = \cos(\operatorname{arcctg} x)$
Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Пусть $\alpha = \operatorname{arcctg} x$. Тогда $\ctg \alpha = x$. Из тождеств $\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha$ и $\sin^2\alpha = \frac{1}{1+x^2}$ (из пункта л) получаем $\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$. Знаки $\cos\alpha$ и $\ctg\alpha (=x)$ на интервале $(0, \pi)$ совпадают для первой четверти и противоположны для второй. Точнее, если $x>0$, $\alpha \in (0, \pi/2)$, $\cos\alpha > 0$. Если $x<0$, $\alpha \in (\pi/2, \pi)$, $\cos\alpha < 0$. Таким образом, знак $\cos\alpha$ совпадает со знаком $x$. Следовательно, $y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$. График этой функции совпадает с графиком из пункта ж).
Ответ: График функции $y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.

3.21* а) $y = \arcsin (\sin x)$;

в) $y = \arcsin (\text{tg } x)$;

д) $y = \arccos (\cos x)$;

ж) $y = \arccos (\text{tg } x)$;

и) $y = \text{arctg } (\text{tg } x)$;

л) $y = \text{arctg } (\sin x)$;

н) $y = \text{arcctg } (\text{ctg } x)$;

п) $y = \text{arcctg } (\sin x)$;

б) $y = \arcsin (\cos x)$;

г) $y = \arcsin (\text{ctg } x)$;

е) $y = \arccos (\sin x)$;

з) $y = \arccos (\text{ctg } x)$;

к) $y = \text{arctg } (\text{ctg } x)$;

м) $y = \text{arctg } (\cos x)$;

о) $y = \text{arcctg } (\text{tg } x)$;

р) $y = \text{arcctg } (\cos x)$.

а) $y = \arcsin(\sin x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Область значений функции $y$ - это область значений арксинуса, то есть $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Тождество $\arcsin(\sin x) = x$ верно только при $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. В общем случае, используя периодичность синуса и его свойства ($\sin(\pi - x) = \sin x$), получаем кусочно-линейную функцию. Функция периодична с периодом $2\pi$. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ график совпадает с $y=x$, а на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ график совпадает с $y=\pi-x$.

Ответ: $y = \begin{cases} x - 2k\pi, & \text{если } x \in [-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi] \\ \pi - x + 2k\pi, & \text{если } x \in [\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi] \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \arcsin(\cos x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Область значений $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Используем формулу приведения $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$, получаем $y = \arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - x))$. Обозначив $t = \frac{\pi}{2} - x$, задача сводится к предыдущей: $y = \arcsin(\sin t)$. Также можно использовать тождество $\arcsin z + \arccos z = \frac{\pi}{2}$, откуда $y = \frac{\pi}{2} - \arccos(\cos x)$.

Ответ: $y = \begin{cases} \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi, & \text{если } x \in [2k\pi, (2k+1)\pi] \\ x - \frac{3\pi}{2} - 2(k-1)\pi, & \text{если } x \in [(2k-1)\pi, 2k\pi] \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это можно записать проще: $y = \frac{\pi}{2} - \arccos(\cos x)$.

в) $y = \arcsin(\tg x)$

Для существования функции необходимо, чтобы аргумент арксинуса принадлежал отрезку $[-1, 1]$. Таким образом, должно выполняться условие $|\tg x| \le 1$. Это неравенство справедливо для $x \in [-\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi]$ для любого целого $k$. Это и есть область определения функции. Область значений функции - это значения, которые принимает $\arcsin z$ при $z \in [-1, 1]$, то есть $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [-\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi]$. Область значений: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

г) $y = \arcsin(\ctg x)$

Аналогично предыдущему пункту, требуется выполнение условия $|\ctg x| \le 1$. Это неравенство справедливо для $x \in [\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{3\pi}{4} + k\pi]$ для любого целого $k$. Это область определения функции. Область значений функции, как и в пункте в), есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{3\pi}{4} + k\pi]$. Область значений: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

д) $y = \arccos(\cos x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Область значений функции - это область значений арккосинуса, то есть $y \in [0, \pi]$. Тождество $\arccos(\cos x) = x$ верно только при $x \in [0, \pi]$. Функция периодична с периодом $2\pi$. На отрезке $[0, \pi]$ график $y=x$, а на отрезке $[-\pi, 0]$ (или $[\pi, 2\pi]$) график $y=-x$ (или $y=2\pi-x$).

Ответ: $y = \begin{cases} x - 2k\pi, & \text{если } x \in [2k\pi, (2k+1)\pi] \\ (2k+2)\pi - x, & \text{если } x \in [(2k+1)\pi, (2k+2)\pi] \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

е) $y = \arccos(\sin x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Область значений $y \in [0, \pi]$. Используем формулу приведения $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$, получаем $y = \arccos(\cos(\frac{\pi}{2} - x))$. Обозначив $t = \frac{\pi}{2} - x$, задача сводится к предыдущей: $y = \arccos(\cos t)$. Также можно использовать тождество $\arcsin z + \arccos z = \frac{\pi}{2}$, откуда $y = \frac{\pi}{2} - \arcsin(\sin x)$.

Ответ: $y = \begin{cases} \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi, & \text{если } x \in [-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi] \\ x - \frac{\pi}{2} + 2k\pi, & \text{если } x \in [\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi] \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это можно записать проще: $y = \frac{\pi}{2} - \arcsin(\sin x)$.

ж) $y = \arccos(\tg x)$

Область определения функции задается условием $|\tg x| \le 1$, что, как и в пункте в), дает $x \in [-\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi]$ для $k \in \mathbb{Z}$. Область значений функции - это значения, которые принимает $\arccos z$ при $z \in [-1, 1]$, то есть $[0, \pi]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [-\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi]$. Область значений: $E(y) = [0, \pi]$.

з) $y = \arccos(\ctg x)$

Область определения функции задается условием $|\ctg x| \le 1$, что, как и в пункте г), дает $x \in [\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{3\pi}{4} + k\pi]$ для $k \in \mathbb{Z}$. Область значений функции - это значения, которые принимает $\arccos z$ при $z \in [-1, 1]$, то есть $[0, \pi]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{3\pi}{4} + k\pi]$. Область значений: $E(y) = [0, \pi]$.

и) $y = \arctg(\tg x)$

Функция определена везде, где определен $\tg x$, то есть при $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. Область значений функции - это область значений арктангенса, то есть $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Функция периодична с периодом $\pi$. Тождество $\arctg(\tg x)=x$ верно только при $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $y = x - k\pi$, при $x \in (-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

к) $y = \arctg(\ctg x)$

Функция определена везде, где определен $\ctg x$, то есть при $x \neq k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. Область значений $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Используя тождество $\arctg z + \arcctg z = \frac{\pi}{2}$, получаем $y = \frac{\pi}{2} - \arcctg(\ctg x)$. Выражение для $\arcctg(\ctg x)$ известно из пункта н).

Ответ: $y = \frac{\pi}{2} - (x - k\pi)$, при $x \in (k\pi, (k+1)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

л) $y = \arctg(\sin x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Поскольку $\sin x \in [-1, 1]$, а функция $\arctg z$ монотонно возрастает, область значений $y$ находится в пределах $[\arctg(-1), \arctg(1)]$, то есть $y \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений: $E(y) = [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.

м) $y = \arctg(\cos x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Поскольку $\cos x \in [-1, 1]$, а функция $\arctg z$ монотонно возрастает, область значений $y$ находится в пределах $[\arctg(-1), \arctg(1)]$, то есть $y \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений: $E(y) = [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.

н) $y = \arcctg(\ctg x)$

Функция определена везде, где определен $\ctg x$, то есть при $x \neq k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. Область значений функции - это область значений арккотангенса, то есть $y \in (0, \pi)$. Функция периодична с периодом $\pi$. Тождество $\arcctg(\ctg x)=x$ верно только при $x \in (0, \pi)$.

Ответ: $y = x - k\pi$, при $x \in (k\pi, (k+1)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

о) $y = \arcctg(\tg x)$

Функция определена везде, где определен $\tg x$, то есть при $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. Область значений $y \in (0, \pi)$. Используя тождество $\arctg z + \arcctg z = \frac{\pi}{2}$, получаем $y = \frac{\pi}{2} - \arctg(\tg x)$. Выражение для $\arctg(\tg x)$ известно из пункта и).

Ответ: $y = \frac{\pi}{2} - (x - k\pi)$, при $x \in (-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

п) $y = \arcctg(\sin x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Поскольку $\sin x \in [-1, 1]$, а функция $\arcctg z$ монотонно убывает, область значений $y$ находится в пределах $[\arcctg(1), \arcctg(-1)]$, то есть $y \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений: $E(y) = [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.

р) $y = \arcctg(\cos x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Поскольку $\cos x \in [-1, 1]$, а функция $\arcctg z$ монотонно убывает, область значений $y$ находится в пределах $[\arcctg(1), \arcctg(-1)]$, то есть $y \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений: $E(y) = [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.