Страница 84 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

3.15 Дайте определение функции:

а) $y = \arcsin x$;

б) $y = \arccos x$;

в) $y = \arctg x$;

г) $y = \arcctg x$.

Сформулируйте её свойства, постройте её график.

Арксинус числа $a$ (где $|a| \le 1$) — это такое число $y$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Таким образом, запись $y = \arcsin x$ равносильна системе: $\begin{cases} \sin y = x \\ -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} \end{cases}$. Функция $y = \arcsin x$ является обратной к функции $y = \sin x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
• Функция является нечетной: $\arcsin(-x) = -\arcsin x$. График симметричен относительно начала координат.
• Функция возрастает на всей области определения.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Функция непрерывна на $[-1, 1]$.

График функции:

Ответ: Представлены определение, свойства и график функции арксинус.

Арккосинус числа $a$ (где $|a| \le 1$) — это такое число $y$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $a$. Таким образом, запись $y = \arccos x$ равносильна системе: $\begin{cases} \cos y = x \\ 0 \le y \le \pi \end{cases}$. Функция $y = \arccos x$ является обратной к функции $y = \cos x$ на отрезке $[0, \pi]$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(y) = [0, \pi]$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида). Справедливо равенство: $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
• Функция убывает на всей области определения.
• Нули функции: $y=0$ при $x=1$. Пересечение с осью OY в точке $(0, \frac{\pi}{2})$.
• Функция непрерывна на $[-1, 1]$.

График функции:

Ответ: Представлены определение, свойства и график функции арккосинус.

Арктангенс числа $a$ (для любого $a \in \mathbb{R}$) — это такое число $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. Таким образом, запись $y = \operatorname{arctg} x$ равносильна системе: $\begin{cases} \operatorname{tg} y = x \\ -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \end{cases}$. Функция $y = \operatorname{arctg} x$ является обратной к функции $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, или $x \in \mathbb{R}$.
• Область значений: $E(y) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
• Функция является нечетной: $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg} x$. График симметричен относительно начала координат.
• Функция возрастает на всей области определения.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Функция непрерывна на всей области определения.
• Имеет две горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$.

График функции:

Ответ: Представлены определение, свойства и график функции арктангенс.

Арккотангенс числа $a$ (для любого $a \in \mathbb{R}$) — это такое число $y$ из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $a$. Таким образом, запись $y = \operatorname{arcctg} x$ равносильна системе: $\begin{cases} \operatorname{ctg} y = x \\ 0 < y < \pi \end{cases}$. Функция $y = \operatorname{arcctg} x$ является обратной к функции $y = \operatorname{ctg} x$ на интервале $(0, \pi)$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, или $x \in \mathbb{R}$.
• Область значений: $E(y) = (0, \pi)$.
• Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида). Справедливо равенство: $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg} x$.
• Функция убывает на всей области определения.
• Функция не имеет нулей. Пересечение с осью OY в точке $(0, \frac{\pi}{2})$.
• Функция непрерывна на всей области определения.
• Имеет две горизонтальные асимптоты: $y = 0$ при $x \to +\infty$ и $y = \pi$ при $x \to -\infty$.

График функции:

Ответ: Представлены определение, свойства и график функции арккотангенс.