Страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

3.16 Найдите функцию $y = \varphi(x)$, обратную к функции:

а) $y = \sin x, x \in \left[ -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2} \right]$;

б) $y = \cos x, x \in [\pi; 2\pi]$,

и постройте её график.

а)

Дана функция $y = \sin x$ на отрезке $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.

1. Проверка на монотонность.
Для существования обратной функции необходимо, чтобы исходная функция была монотонной на заданном промежутке. Найдём производную функции: $y' = (\sin x)' = \cos x$. На интервале $(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2})$, который соответствует второй и третьей четвертям координатной плоскости (при движении от 0 в отрицательном направлении), значение косинуса отрицательно ($\cos x < 0$). Следовательно, функция $y = \sin x$ строго убывает на всем отрезке $[-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$, и обратная функция для нее существует.

2. Нахождение области значений.
Поскольку функция строго убывает, её наибольшее значение достигается в левой граничной точке отрезка, а наименьшее — в правой.

• Наибольшее значение: $y(-\frac{3\pi}{2}) = \sin(-\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
• Наименьшее значение: $y(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

Таким образом, область значений исходной функции $E(f) = [-1, 1]$. Эта область будет являться областью определения для обратной функции.

3. Нахождение обратной функции.
Из уравнения $y = \sin x$ необходимо выразить $x$. Общее решение уравнения: $x = (-1)^k \arcsin y + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Нам нужно выбрать ту ветвь решения, которая соответствует отрезку $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$. Проверим значение $k=-1$. Решение принимает вид $x = (-1)^{-1} \arcsin y - \pi = -\arcsin y - \pi$. Поскольку по определению $\arcsin y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то $-\arcsin y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Тогда $x = -\pi - \arcsin y$ принадлежит отрезку $[-\pi - \frac{\pi}{2}, -\pi + \frac{\pi}{2}] = [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$. Это в точности совпадает с заданной областью определения. Итак, мы нашли выражение $x$ через $y$: $x = -\pi - \arcsin y$. Для получения обратной функции $y = \phi(x)$ поменяем местами переменные $x$ и $y$: $y = -\pi - \arcsin x$. Область определения этой функции $D(\phi) = [-1, 1]$, а область значений $E(\phi) = [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.

4. Построение графика.
График обратной функции $y = -\pi - \arcsin x$ симметричен графику исходной функции $y = \sin x$ (на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$) относительно прямой $y=x$. Ключевые точки графика $y = \sin x$: $(-\frac{3\pi}{2}, 1)$, $(-\pi, 0)$, $(-\frac{\pi}{2}, -1)$. Соответствующие ключевые точки для графика обратной функции $y = -\pi - \arcsin x$: $(1, -\frac{3\pi}{2})$, $(0, -\pi)$, $(-1, -\frac{\pi}{2})$.

Ответ: Обратная функция $y = -\pi - \arcsin x$.

б)

Дана функция $y = \cos x$ на отрезке $x \in [\pi, 2\pi]$.

1. Проверка на монотонность.
Найдём производную функции: $y' = (\cos x)' = -\sin x$. На интервале $(\pi, 2\pi)$, который соответствует третьей и четвертой четвертям, значение синуса отрицательно ($\sin x < 0$). Следовательно, производная $y' = -\sin x$ положительна ($y' > 0$). Это означает, что функция $y = \cos x$ строго возрастает на отрезке $[\pi, 2\pi]$, и для нее существует обратная функция.

2. Нахождение области значений.
Поскольку функция строго возрастает, её наименьшее значение достигается в левой граничной точке отрезка, а наибольшее — в правой.

• Наименьшее значение: $y(\pi) = \cos(\pi) = -1$.
• Наибольшее значение: $y(2\pi) = \cos(2\pi) = 1$.

Таким образом, область значений исходной функции $E(f) = [-1, 1]$. Эта область будет являться областью определения для обратной функции.

3. Нахождение обратной функции.
Из уравнения $y = \cos x$ выразим $x$. Общее решение уравнения: $x = \pm \arccos y + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Нам нужно выбрать ту ветвь решения, которая соответствует отрезку $x \in [\pi, 2\pi]$. Рассмотрим ветвь $x = -\arccos y + 2\pi k$. При $k=1$ получаем $x = 2\pi - \arccos y$. Поскольку по определению $\arccos y \in [0, \pi]$, то $-\arccos y \in [-\pi, 0]$. Тогда $x = 2\pi - \arccos y$ принадлежит отрезку $[2\pi - \pi, 2\pi - 0] = [\pi, 2\pi]$. Это в точности совпадает с заданной областью определения. Итак, мы нашли выражение $x$ через $y$: $x = 2\pi - \arccos y$. Для получения обратной функции $y = \phi(x)$ поменяем местами переменные $x$ и $y$: $y = 2\pi - \arccos x$. Область определения этой функции $D(\phi) = [-1, 1]$, а область значений $E(\phi) = [\pi, 2\pi]$.

4. Построение графика.
График обратной функции $y = 2\pi - \arccos x$ симметричен графику исходной функции $y = \cos x$ (на отрезке $[\pi, 2\pi]$) относительно прямой $y=x$. Ключевые точки графика $y = \cos x$: $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$. Соответствующие ключевые точки для графика обратной функции $y = 2\pi - \arccos x$: $(-1, \pi)$, $(0, \frac{3\pi}{2})$, $(1, 2\pi)$.

Ответ: Обратная функция $y = 2\pi - \arccos x$.

3.17 Найдите функцию $y = \varphi (x)$, обратную к функции:

а) $y = \arcsin x;$

б) $y = \arccos x;$

в) $y = \operatorname{arctg} x;$

г) $y = \operatorname{arcctg} x;$

и постройте их графики в одной системе координат.

а) $y = \arcsin x$

Для нахождения обратной функции $y = \phi(x)$ необходимо поменять местами переменные $x$ и $y$ в исходном уравнении: $x = \arcsin y$. После этого выразим $y$. По определению арксинуса, если $x = \arcsin y$, то $y = \sin x$. Исходная функция $y = \arcsin x$ имеет область определения $D(f) = [-1, 1]$ и область значений $E(f) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. У обратной функции область определения и область значений меняются местами. Следовательно, для функции $y = \phi(x) = \sin x$ область определения будет $D(\phi) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, а область значений $E(\phi) = [-1, 1]$.

Графики исходной функции $y = \arcsin x$ (синий) и обратной ей функции $y = \sin x$ (красный) симметричны относительно прямой $y = x$ (зеленая пунктирная линия).

Ответ: Обратная функция $y = \sin x$ с областью определения $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

б) $y = \arccos x$

Чтобы найти обратную функцию, меняем местами $x$ и $y$: $x = \arccos y$. Отсюда следует, что $y = \cos x$. Исходная функция $y = \arccos x$ имеет область определения $D(f) = [-1, 1]$ и область значений $E(f) = [0, \pi]$. Для обратной функции $y = \phi(x) = \cos x$ область определения $D(\phi) = [0, \pi]$, а область значений $E(\phi) = [-1, 1]$.

Графики исходной функции $y = \arccos x$ (синий) и обратной ей функции $y = \cos x$ (красный) симметричны относительно прямой $y = x$ (зеленая пунктирная линия).

Ответ: Обратная функция $y = \cos x$ с областью определения $x \in [0, \pi]$.

в) $y = \operatorname{arctg} x$

Меняем местами $x$ и $y$, получаем $x = \operatorname{arctg} y$, что равносильно $y = \operatorname{tg} x$. Исходная функция $y = \operatorname{arctg} x$ имеет область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$ и область значений $E(f) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Соответственно, для обратной функции $y = \phi(x) = \operatorname{tg} x$ область определения $D(\phi) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, а область значений $E(\phi) = (-\infty, +\infty)$.

Графики исходной функции $y = \operatorname{arctg} x$ (синий) и обратной ей функции $y = \operatorname{tg} x$ (красный) симметричны относительно прямой $y = x$ (зеленая пунктирная линия). Горизонтальные асимптоты $y = \pm \frac{\pi}{2}$ для арктангенса соответствуют вертикальным асимптотам $x = \pm \frac{\pi}{2}$ для тангенса.

Ответ: Обратная функция $y = \operatorname{tg} x$ с областью определения $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

г) $y = \operatorname{arcctg} x$

Меняя $x$ и $y$ местами, получаем $x = \operatorname{arcctg} y$, что эквивалентно $y = \operatorname{ctg} x$. Исходная функция $y = \operatorname{arcctg} x$ имеет область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$ и область значений $E(f) = (0, \pi)$. У обратной функции $y = \phi(x) = \operatorname{ctg} x$ область определения $D(\phi) = (0, \pi)$, а область значений $E(\phi) = (-\infty, +\infty)$.

Графики исходной функции $y = \operatorname{arcctg} x$ (синий) и обратной ей функции $y = \operatorname{ctg} x$ (красный) симметричны относительно прямой $y = x$ (зеленая пунктирная линия). Горизонтальные асимптоты $y = 0$ и $y = \pi$ для арккотангенса соответствуют вертикальным асимптотам $x = 0$ и $x = \pi$ для котангенса.

Ответ: Обратная функция $y = \operatorname{ctg} x$ с областью определения $x \in (0, \pi)$.