Страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

3.22 Вычислите:

a) $\cos\left(\arccos\frac{4}{5} + \arccos\frac{12}{13} + \arccos\frac{3}{5}\right);$

б) $\sin\left(\arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{5}{13} + \arcsin\frac{4}{5}\right);$

в) $\text{ctg}\left(\text{arctg}\frac{1}{3} + \text{arctg}\frac{1}{4} + \text{arctg}\frac{2}{9}\right).$

а)

Требуется вычислить значение выражения $ \cos\left(\arccos\frac{4}{5} + \arccos\frac{12}{13} + \arccos\frac{3}{5}\right) $.

Сгруппируем слагаемые в аргументе косинуса: $ \cos\left(\left(\arccos\frac{4}{5} + \arccos\frac{3}{5}\right) + \arccos\frac{12}{13}\right) $.

Рассмотрим сумму $ \alpha + \beta $, где $ \alpha = \arccos\frac{4}{5} $ и $ \beta = \arccos\frac{3}{5} $. По определению арккосинуса, $ \alpha, \beta \in [0, \pi] $. Так как аргументы $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{3}{5} $ положительны, то $ \alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}] $.

Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) $. У нас есть $ \cos(\alpha) = \frac{4}{5} $ и $ \cos(\beta) = \frac{3}{5} $.

Найдем синусы этих углов. Так как $ \alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}] $, их синусы неотрицательны. Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $ следует $ \sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)} $ для $ x \in [0, \frac{\pi}{2}] $.
$ \sin(\alpha) = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $.
$ \sin(\beta) = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.

Подставим найденные значения в формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{25} - \frac{12}{25} = 0 $.

Поскольку $ \alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}] $, их сумма $ \alpha + \beta $ лежит в интервале $ [0, \pi] $. Единственный угол в этом интервале, косинус которого равен нулю, это $ \frac{\pi}{2} $. Следовательно, $ \arccos\frac{4}{5} + \arccos\frac{3}{5} = \frac{\pi}{2} $.

Теперь исходное выражение упрощается до $ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \arccos\frac{12}{13}\right) $.

Применяя формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x) $, получаем: $ -\sin\left(\arccos\frac{12}{13}\right) $.

Пусть $ \gamma = \arccos\frac{12}{13} $. Тогда $ \cos(\gamma) = \frac{12}{13} $ и $ \gamma \in [0, \frac{\pi}{2}] $ (так как $ \frac{12}{13} > 0 $). Нам нужно найти $ -\sin(\gamma) $. $ \sin(\gamma) = \sqrt{1 - \cos^2(\gamma)} = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} $.

Итоговое значение выражения равно $ -\frac{5}{13} $.

Ответ: $ -\frac{5}{13} $.

б)

Требуется вычислить значение выражения $ \sin\left(\arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{5}{13} + \arcsin\frac{4}{5}\right) $.

Сгруппируем слагаемые в аргументе синуса: $ \sin\left(\left(\arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{4}{5}\right) + \arcsin\frac{5}{13}\right) $.

Рассмотрим сумму $ \arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{4}{5} $. Воспользуемся тождеством $ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} $.

Пусть $ \alpha = \arcsin\frac{4}{5} $. Тогда $ \sin(\alpha) = \frac{4}{5} $ и, так как $ \frac{4}{5} > 0 $, $ \alpha \in [0, \frac{\pi}{2}] $. Найдем $ \cos(\alpha) $: $ \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $. Так как $ \cos(\alpha) = \frac{3}{5} $ и $ \alpha \in [0, \frac{\pi}{2}] $, то $ \alpha = \arccos\frac{3}{5} $. Таким образом, $ \arcsin\frac{4}{5} = \arccos\frac{3}{5} $.

Сумма принимает вид: $ \arcsin\frac{3}{5} + \arccos\frac{3}{5} $. По тождеству, эта сумма равна $ \frac{\pi}{2} $.

Теперь исходное выражение упрощается до $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \arcsin\frac{5}{13}\right) $.

Применяя формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x) $, получаем: $ \cos\left(\arcsin\frac{5}{13}\right) $.

Пусть $ \beta = \arcsin\frac{5}{13} $. Тогда $ \sin(\beta) = \frac{5}{13} $ и $ \beta \in [0, \frac{\pi}{2}] $. Нам нужно найти $ \cos(\beta) $. $ \cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} $.

Ответ: $ \frac{12}{13} $.

в)

Требуется вычислить значение выражения $ \operatorname{ctg}\left(\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \operatorname{arctg}\frac{1}{4} + \operatorname{arctg}\frac{2}{9}\right) $.

Воспользуемся свойством $ \operatorname{ctg}(\theta) = \frac{1}{\operatorname{tg}(\theta)} $. Сначала найдем тангенс аргумента. Пусть $ \alpha = \operatorname{arctg}\frac{1}{3} $, $ \beta = \operatorname{arctg}\frac{1}{4} $ и $ \gamma = \operatorname{arctg}\frac{2}{9} $. Тогда $ \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{1}{3} $, $ \operatorname{tg}(\beta) = \frac{1}{4} $, $ \operatorname{tg}(\gamma) = \frac{2}{9} $.

Сначала вычислим $ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) $ по формуле тангенса суммы $ \operatorname{tg}(A+B) = \frac{\operatorname{tg}A + \operatorname{tg}B}{1 - \operatorname{tg}A \operatorname{tg}B} $:
$ \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{4+3}{12}}{1 - \frac{1}{12}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{11}{12}} = \frac{7}{11} $.

Теперь вычислим тангенс полной суммы $ \operatorname{tg}((\alpha + \beta) + \gamma) $:
$ \operatorname{tg}((\alpha + \beta) + \gamma) = \frac{\operatorname{tg}(\alpha + \beta) + \operatorname{tg}(\gamma)}{1 - \operatorname{tg}(\alpha + \beta) \operatorname{tg}(\gamma)} = \frac{\frac{7}{11} + \frac{2}{9}}{1 - \frac{7}{11} \cdot \frac{2}{9}} $.

Выполним вычисления:
$ \frac{\frac{7 \cdot 9 + 2 \cdot 11}{99}}{1 - \frac{14}{99}} = \frac{\frac{63+22}{99}}{\frac{99-14}{99}} = \frac{\frac{85}{99}}{\frac{85}{99}} = 1 $.

Мы нашли, что тангенс угла в скобках равен 1. Теперь найдем котангенс:
$ \operatorname{ctg}\left(\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \operatorname{arctg}\frac{1}{4} + \operatorname{arctg}\frac{2}{9}\right) = \frac{1}{1} = 1 $.

Ответ: $ 1 $.