Страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

4.1 Пусть точка движется прямолинейно по закону $s = t^2$. Найдите:

а) приращение времени $\Delta t$ на промежутке времени от $t_1 = 1$ до $t_2 = 2$;

б) приращение пути $\Delta s$ на промежутке времени от $t_1 = 1$ до $t_2 = 2$;

в) среднюю скорость на промежутке времени от $t_1 = 1$ до $t_2 = 2$.

а) приращение времени $\Delta t$ на промежутке времени от $t_1 = 1$ до $t_2 = 2$;

Приращение времени $\Delta t$ вычисляется как разность между конечным и начальным моментами времени.

$\Delta t = t_2 - t_1$

Подставим заданные значения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$ в формулу:

$\Delta t = 2 - 1 = 1$

Ответ: 1.

б) приращение пути $\Delta s$ на промежутке времени от $t_1 = 1$ до $t_2 = 2$;

Приращение пути $\Delta s$ равно разности пути, пройденного к моменту времени $t_2$, и пути, пройденного к моменту $t_1$. Закон движения точки задан формулой $s(t) = t^2$.

Сначала найдем путь в начальный и конечный моменты времени:

Путь в момент $t_1 = 1$: $s(t_1) = 1^2 = 1$.

Путь в момент $t_2 = 2$: $s(t_2) = 2^2 = 4$.

Теперь вычислим приращение пути:

$\Delta s = s(t_2) - s(t_1) = 4 - 1 = 3$

Ответ: 3.

в) среднюю скорость на промежутке времени от $t_1 = 1$ до $t_2 = 2$.

Средняя скорость $v_{ср}$ на данном промежутке времени вычисляется как отношение приращения пути $\Delta s$ к приращению времени $\Delta t$.

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Из предыдущих пунктов мы знаем, что $\Delta s = 3$ и $\Delta t = 1$. Подставим эти значения в формулу:

$v_{ср} = \frac{3}{1} = 3$

Ответ: 3.

4.2 В задании 4.1 найдите:

а) приращение пути $\Delta s$ на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$;

б) среднюю скорость на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$;

в) мгновенную скорость в момент времени $t$;

г) мгновенную скорость в момент времени $t = 1$.

Для решения задачи 4.2 необходимо знать закон движения, то есть функцию зависимости пути $s$ от времени $t$, которая должна быть дана в задании 4.1. Поскольку эта функция не предоставлена, предположим, что в задании 4.1 был дан следующий закон движения материальной точки: $s(t) = 2t^2 + t$.

а) приращение пути $\Delta s$ на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$;

Приращение пути $\Delta s$ определяется как разность между положением точки в момент времени $t + \Delta t$ и ее положением в момент времени $t$.

$\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t)$

Сначала найдем значение функции $s(t)$ в момент времени $t + \Delta t$:

$s(t + \Delta t) = 2(t + \Delta t)^2 + (t + \Delta t) = 2(t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2) + t + \Delta t = 2t^2 + 4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + t + \Delta t$

Теперь вычтем из полученного выражения значение $s(t) = 2t^2 + t$:

$\Delta s = (2t^2 + 4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + t + \Delta t) - (2t^2 + t)$

$\Delta s = 2t^2 + 4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + t + \Delta t - 2t^2 - t$

$\Delta s = 4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + \Delta t$

Также можно вынести общий множитель $\Delta t$ за скобки:

$\Delta s = (4t + 2\Delta t + 1)\Delta t$

Ответ: $\Delta s = 4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + \Delta t$.

б) среднюю скорость на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$;

Средняя скорость $v_{ср}$ на заданном промежутке времени вычисляется как отношение приращения пути $\Delta s$ к приращению времени $\Delta t$.

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Подставим выражение для $\Delta s$ из пункта а):

$v_{ср} = \frac{4t\Delta t + 2(\Delta t)^2 + \Delta t}{\Delta t}$

Сократим дробь на $\Delta t$:

$v_{ср} = 4t + 2\Delta t + 1$

Ответ: $v_{ср} = 4t + 2\Delta t + 1$.

в) мгновенную скорость в момент времени $t$;

Мгновенная скорость $v(t)$ – это предел, к которому стремится средняя скорость $v_{ср}$, когда приращение времени $\Delta t$ стремится к нулю. Мгновенная скорость является производной функции пути по времени $s'(t)$.

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Найдем предел выражения для средней скорости из пункта б):

$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} (4t + 2\Delta t + 1)$

Когда $\Delta t \to 0$, слагаемое $2\Delta t$ также стремится к нулю, поэтому:

$v(t) = 4t + 1$

Этот же результат можно получить, найдя производную от $s(t) = 2t^2 + t$:

$v(t) = s'(t) = (2t^2 + t)' = 2 \cdot (t^2)' + (t)' = 2 \cdot 2t + 1 = 4t + 1$

Ответ: $v(t) = 4t + 1$.

г) мгновенную скорость в момент времени $t = 1$.

Чтобы найти мгновенную скорость в конкретный момент времени $t=1$, подставим это значение в формулу для $v(t)$, полученную в предыдущем пункте.

$v(1) = 4(1) + 1$

$v(1) = 4 + 1 = 5$

Единицы измерения (например, м/с) не указаны в условии, поэтому ответ дается в виде числа.

Ответ: 5.

4.3 Пусть точка движется прямолинейно по закону:

1) $s = 3t + 5$;

2) $s = t^2 - 6t$.

Найдите:

а) приращение пути $\Delta s$ на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$;

б) среднюю скорость на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$;

в) мгновенную скорость в момент времени $t$.

Для какого из указанных законов мгновенная скорость не зависит от времени и для какого зависит?

Для закона движения 1) $s = 3t + 5$:

а) приращение пути $\Delta s$ на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$
Приращение пути $\Delta s$ определяется как разность между положением точки в конечный момент времени $t + \Delta t$ и начальный момент времени $t$. $s(t) = 3t + 5$.
$s(t + \Delta t) = 3(t + \Delta t) + 5 = 3t + 3\Delta t + 5$.
$\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t) = (3t + 3\Delta t + 5) - (3t + 5) = 3\Delta t$.
Ответ: $\Delta s = 3\Delta t$.

б) среднюю скорость на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$
Средняя скорость $v_{ср}$ — это отношение приращения пути $\Delta s$ к промежутку времени $\Delta t$.
$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$.
Используя результат из пункта а), получаем:
$v_{ср} = \frac{3\Delta t}{\Delta t} = 3$.
Ответ: $v_{ср} = 3$.

в) мгновенную скорость в момент времени $t$
Мгновенная скорость $v(t)$ — это производная пути по времени $s'(t)$ или предел средней скорости при $\Delta t \to 0$.
$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(3t + 5) = 3$.
Используя предел:
$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} 3 = 3$.
Ответ: $v(t) = 3$.

Для закона движения 2) $s = t^2 - 6t$:

а) приращение пути $\Delta s$ на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$
$s(t) = t^2 - 6t$.
$s(t + \Delta t) = (t + \Delta t)^2 - 6(t + \Delta t) = t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 - 6t - 6\Delta t$.
$\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t) = (t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 - 6t - 6\Delta t) - (t^2 - 6t) = 2t\Delta t + (\Delta t)^2 - 6\Delta t$.
Вынесем $\Delta t$ за скобки: $\Delta s = (2t - 6 + \Delta t)\Delta t$.
Ответ: $\Delta s = (2t - 6 + \Delta t)\Delta t$.

б) среднюю скорость на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$
$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$.
Используя результат из пункта а), получаем:
$v_{ср} = \frac{(2t - 6 + \Delta t)\Delta t}{\Delta t} = 2t - 6 + \Delta t$.
Ответ: $v_{ср} = 2t - 6 + \Delta t$.

в) мгновенную скорость в момент времени $t$
$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 - 6t) = 2t - 6$.
Используя предел:
$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} (2t - 6 + \Delta t) = 2t - 6$.
Ответ: $v(t) = 2t - 6$.

Для какого из указанных законов мгновенная скорость не зависит от времени и для какого зависит?
Для первого закона движения $s = 3t + 5$ мгновенная скорость $v(t) = 3$ является константой, следовательно, она не зависит от времени $t$. Это характеризует равномерное прямолинейное движение.
Для второго закона движения $s = t^2 - 6t$ мгновенная скорость $v(t) = 2t - 6$ является функцией от времени $t$, следовательно, она зависит от времени. Это характеризует равноускоренное прямолинейное движение.