Страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

4.27 Вычислите приближённо приращение $ \Delta y $ функции $ y = x^3 - 4x^2 + 2x - 10 $ в точке $ x $, если:

$ x = 1 $, $ \Delta x = 0,1 $;

$ x = 1 $, $ \Delta x = -0,1 $;

$ x = 0 $, $ \Delta x = 0,01 $;

$ x = 0 $, $ \Delta x = -0,01 $.

Приращение функции $\Delta y$ можно приближенно вычислить через её дифференциал $dy$. Формула для приближенного вычисления имеет вид:

$\Delta y \approx dy = y'(x) \cdot \Delta x$

Для данной функции $y = x^3 - 4x^2 + 2x - 10$ сначала найдем её производную $y'(x)$.

$y'(x) = (x^3 - 4x^2 + 2x - 10)' = 3x^2 - 8x + 2$.

Теперь применим эту формулу для каждого из случаев.

а) $x = 1, \Delta x = 0,1$

1. Найдем значение производной в точке $x = 1$:

$y'(1) = 3(1)^2 - 8(1) + 2 = 3 - 8 + 2 = -3$.

2. Вычислим приближенное приращение $\Delta y$:

$\Delta y \approx y'(1) \cdot \Delta x = -3 \cdot 0,1 = -0,3$.

Ответ: $\Delta y \approx -0,3$.

б) $x = 1, \Delta x = -0,1$

1. Значение производной в точке $x = 1$ нам уже известно: $y'(1) = -3$.

2. Вычислим приближенное приращение $\Delta y$:

$\Delta y \approx y'(1) \cdot \Delta x = -3 \cdot (-0,1) = 0,3$.

Ответ: $\Delta y \approx 0,3$.

в) $x = 0, \Delta x = 0,01$

1. Найдем значение производной в точке $x = 0$:

$y'(0) = 3(0)^2 - 8(0) + 2 = 0 - 0 + 2 = 2$.

2. Вычислим приближенное приращение $\Delta y$:

$\Delta y \approx y'(0) \cdot \Delta x = 2 \cdot 0,01 = 0,02$.

Ответ: $\Delta y \approx 0,02$.

г) $x = 0, \Delta x = -0,01$

1. Значение производной в точке $x = 0$ нам уже известно: $y'(0) = 2$.

2. Вычислим приближенное приращение $\Delta y$:

$\Delta y \approx y'(0) \cdot \Delta x = 2 \cdot (-0,01) = -0,02$.

Ответ: $\Delta y \approx -0,02$.