Страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

4.32° Сформулируйте теорему о производной частного двух функций.

Теорема о производной частного двух функций (также известная как правило частного) формулируется следующим образом.

Формулировка:
Если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в некоторой точке $x$, и при этом знаменатель $v(x)$ не равен нулю в этой точке ($v(x) \neq 0$), то их частное $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ также является дифференцируемой функцией в точке $x$.

Производная этого частного вычисляется по формуле:
$ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $

Для удобства и краткости формулу часто записывают, опуская аргумент $x$:
$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $

Словесное правило:
Производная частного равна дроби, числитель которой представляет собой разность между произведением производной числителя на знаменатель и произведением числителя на производную знаменателя, а знаменатель этой дроби есть квадрат первоначального знаменателя.

Ответ: Теорема о производной частного гласит, что если функции $u$ и $v$ дифференцируемы и $v \neq 0$, то производная их частного $\frac{u}{v}$ вычисляется по формуле: $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $.

4.33 Найдите производную функции в любой точке x её области определения:

а) $y = \frac{1}{x}$;

б) $y = \frac{1}{x^2}$;

в) $y = \frac{1}{x+1}$;

г) $y = \frac{x+1}{x-1}$;

д) $y = \frac{x}{x^2+1}$;

е) $y = \frac{4-x^2}{x}$;

ж) $y = \frac{x^2+3x}{x+1}$;

з) $y = \frac{x^2+x-7}{x^2+1}$;

и) $y = \frac{-x^2+7x-8}{x^2-7x+5}$.

а) $y = \frac{1}{x}$

Для нахождения производной представим функцию в виде степенной: $y = x^{-1}$. Применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$: $y' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2}$

б) $y = \frac{1}{x^2}$

Представим функцию в виде степенной: $y = x^{-2}$. Применяем формулу производной степенной функции: $y' = (x^{-2})' = -2 \cdot x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Ответ: $y' = -\frac{2}{x^3}$

в) $y = \frac{1}{x+1}$

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u=1$ и $v=x+1$. Производные числителя и знаменателя: $u' = (1)' = 0$, $v' = (x+1)' = 1$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{0 \cdot (x+1) - 1 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{(x+1)^2}$

г) $y = \frac{x+1}{x-1}$

Используем правило дифференцирования частного, где $u=x+1$ и $v=x-1$. Находим производные: $u' = (x+1)' = 1$, $v' = (x-1)' = 1$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{2}{(x-1)^2}$

д) $y = \frac{x}{x^2+1}$

Используем правило дифференцирования частного, где $u=x$ и $v=x^2+1$. Находим производные: $u' = (x)' = 1$, $v' = (x^2+1)' = 2x$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot (2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

е) $y = \frac{4-x^2}{x}$

Упростим функцию, разделив почленно числитель на знаменатель: $y = \frac{4}{x} - \frac{x^2}{x} = 4x^{-1} - x$. Теперь находим производную как разность производных: $y' = (4x^{-1})' - (x)' = 4(-1)x^{-1-1} - 1 = -4x^{-2} - 1 = -\frac{4}{x^2} - 1$. Приводя к общему знаменателю, получаем: $y' = \frac{-4-x^2}{x^2} = -\frac{x^2+4}{x^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{x^2+4}{x^2}$

ж) $y = \frac{x^2+3x}{x+1}$

Используем правило дифференцирования частного, где $u=x^2+3x$ и $v=x+1$. Находим производные: $u' = (x^2+3x)' = 2x+3$, $v' = (x+1)' = 1$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{(2x+3)(x+1) - (x^2+3x) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{(2x^2+2x+3x+3) - (x^2+3x)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2+5x+3 - x^2-3x}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x+3}{(x+1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{x^2+2x+3}{(x+1)^2}$

з) $y = \frac{x^2+x-7}{x^2+1}$

Используем правило дифференцирования частного, где $u=x^2+x-7$ и $v=x^2+1$. Находим производные: $u' = (x^2+x-7)' = 2x+1$, $v' = (x^2+1)' = 2x$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{(2x+1)(x^2+1) - (x^2+x-7)(2x)}{(x^2+1)^2}$. Раскроем скобки в числителе: $y' = \frac{(2x^3+2x+x^2+1) - (2x^3+2x^2-14x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3+x^2+2x+1 - 2x^3-2x^2+14x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2+16x+1}{(x^2+1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{-x^2+16x+1}{(x^2+1)^2}$

и) $y = \frac{-x^2+7x-8}{x^2-7x+5}$

Используем правило дифференцирования частного, где $u=-x^2+7x-8$ и $v=x^2-7x+5$. Находим производные: $u' = (-x^2+7x-8)' = -2x+7$, $v' = (x^2-7x+5)' = 2x-7$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{(-2x+7)(x^2-7x+5) - (-x^2+7x-8)(2x-7)}{(x^2-7x+5)^2}$. Раскроем скобки в числителе: $u'v = (-2x+7)(x^2-7x+5) = -2x^3 + 14x^2 - 10x + 7x^2 - 49x + 35 = -2x^3 + 21x^2 - 59x + 35$. $uv' = (-x^2+7x-8)(2x-7) = -2x^3 + 7x^2 + 14x^2 - 49x - 16x + 56 = -2x^3 + 21x^2 - 65x + 56$. Вычитаем второе из первого: $u'v - uv' = (-2x^3 + 21x^2 - 59x + 35) - (-2x^3 + 21x^2 - 65x + 56) = -59x + 35 + 65x - 56 = 6x - 21$. Следовательно: $y' = \frac{6x-21}{(x^2-7x+5)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{6x-21}{(x^2-7x+5)^2}$

4.34 Вычислите значение производной функции $f(x)$ в указанной точке $x_0$, если:

а) $f(x) = \frac{5}{x^2 + 1}$, $x_0 = 0$;

б) $f(x) = \frac{-2x}{x^2 + 2}$, $x_0 = 1$;

в) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 3}$, $x_0 = -1$;

г) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$, $x_0 = -2$.

а) Дана функция $f(x) = \frac{5}{x^2 + 1}$ и точка $x_0 = 0$.
Для нахождения производной функции, представленной в виде частного двух функций $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, используем правило дифференцирования частного:
$f'(x) = (\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$.
В нашем случае, $u(x) = 5$ и $v(x) = x^2 + 1$.
Находим их производные:
$u'(x) = (5)' = 0$
$v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$
Подставляем в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 5 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-10x}{(x^2 + 1)^2}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{-10 \cdot 0}{(0^2 + 1)^2} = \frac{0}{1^2} = 0$.
Ответ: 0.

б) Дана функция $f(x) = \frac{-2x}{x^2 + 2}$ и точка $x_0 = 1$.
Используем правило дифференцирования частного. Здесь $u(x) = -2x$ и $v(x) = x^2 + 2$.
Находим производные:
$u'(x) = (-2x)' = -2$
$v'(x) = (x^2 + 2)' = 2x$
Подставляем в формулу:
$f'(x) = \frac{-2 \cdot (x^2 + 2) - (-2x) \cdot 2x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-2x^2 - 4 + 4x^2}{(x^2 + 2)^2} = \frac{2x^2 - 4}{(x^2 + 2)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{2 \cdot 1^2 - 4}{(1^2 + 2)^2} = \frac{2 - 4}{(1 + 2)^2} = \frac{-2}{3^2} = -\frac{2}{9}$.
Ответ: $-\frac{2}{9}$.

в) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 3}$ и точка $x_0 = -1$.
Используем правило дифференцирования частного. Здесь $u(x) = x^2 - 1$ и $v(x) = x^2 + 3$.
Находим производные:
$u'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$
$v'(x) = (x^2 + 3)' = 2x$
Подставляем в формулу:
$f'(x) = \frac{2x(x^2 + 3) - (x^2 - 1)2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x^3 + 6x - (2x^3 - 2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x^3 + 6x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{8x}{(x^2 + 3)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:
$f'(-1) = \frac{8 \cdot (-1)}{((-1)^2 + 3)^2} = \frac{-8}{(1 + 3)^2} = \frac{-8}{4^2} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$ и точка $x_0 = -2$.
Используем правило дифференцирования частного. Здесь $u(x) = x^2 - 4$ и $v(x) = x^2 + 4$.
Находим производные:
$u'(x) = (x^2 - 4)' = 2x$
$v'(x) = (x^2 + 4)' = 2x$
Подставляем в формулу:
$f'(x) = \frac{2x(x^2 + 4) - (x^2 - 4)2x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2x^3 + 8x - (2x^3 - 8x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2x^3 + 8x - 2x^3 + 8x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:
$f'(-2) = \frac{16 \cdot (-2)}{((-2)^2 + 4)^2} = \frac{-32}{(4 + 4)^2} = \frac{-32}{8^2} = \frac{-32}{64} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

4.35* Дана функция $f(x) = \frac{4x}{x^2+1}$. Найдите все значения аргумента, при которых:

a) $f'(x) = 0$;

б) $f'(x) > 0$;

в) $f'(x) < 0$.

Дана функция $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}$. Для решения задачи сначала найдем ее производную $f'(x)$.

Функция представляет собой частное двух функций, поэтому для нахождения производной воспользуемся формулой производной частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 4x$ и $v(x) = x^2 + 1$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = 4$ и $v'(x) = 2x$.

Подставим эти выражения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(4x)'(x^2 + 1) - 4x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4(x^2 + 1) - 4x(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

Упростим выражение в числителе:

$f'(x) = \frac{4x^2 + 4 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2}$

Теперь, имея производную, мы можем найти значения аргумента $x$, удовлетворяющие заданным условиям.

а) $f'(x) = 0$

Необходимо решить уравнение:

$\frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель $(x^2 + 1)^2$ всегда строго положителен при любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 1 \ge 1$.

Следовательно, приравниваем числитель к нулю:

$4 - 4x^2 = 0$

$4(1 - x^2) = 0$

$1 - x^2 = 0$

$(1 - x)(1 + x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Ответ: $x = -1, x = 1$.

б) $f'(x) > 0$

Необходимо решить неравенство:

$\frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} > 0$

Так как знаменатель $(x^2 + 1)^2$ всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Таким образом, неравенство сводится к следующему:

$4 - 4x^2 > 0$

$1 - x^2 > 0$

Это квадратное неравенство. Графиком функции $y = 1 - x^2$ является парабола с ветвями, направленными вниз, пересекающая ось абсцисс в точках $x = -1$ и $x = 1$. Положительные значения функция принимает между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

в) $f'(x) < 0$

Необходимо решить неравенство:

$\frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} < 0$

Аналогично предыдущему пункту, знак дроби зависит только от знака числителя:

$4 - 4x^2 < 0$

$1 - x^2 < 0$

Парабола $y = 1 - x^2$ принимает отрицательные значения вне интервала между корнями $x = -1$ и $x = 1$.

Следовательно, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

4.36* Вычислите значение производной функции $y = (x + 1)^{10}$ в точке $x_0 = 0.$

Чтобы вычислить значение производной функции $y = (x + 1)^{10}$ в точке $x_0 = 0$, сначала найдем производную $y'$ данной функции.

Эта функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Если $y = f(u(x))$, то ее производная равна $y' = f'(u) \cdot u'(x)$.

В нашем случае внешняя функция — это степенная функция $f(u) = u^{10}$, а внутренняя — линейная функция $u(x) = x + 1$.

1. Найдем производную внешней функции:

$f'(u) = (u^{10})' = 10 \cdot u^{10-1} = 10u^9$.

2. Найдем производную внутренней функции:

$u'(x) = (x + 1)' = (x)' + (1)' = 1 + 0 = 1$.

3. Перемножим результаты и подставим выражение для $u$:

$y' = f'(u(x)) \cdot u'(x) = 10(x + 1)^9 \cdot 1 = 10(x + 1)^9$.

Теперь, когда мы нашли производную, вычислим ее значение в точке $x_0 = 0$. Для этого подставим $x = 0$ в полученное выражение для $y'$:

$y'(0) = 10(0 + 1)^9 = 10 \cdot (1)^9 = 10 \cdot 1 = 10$.

Ответ: 10