Номер 4.36, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.36, страница 103.

Условие.

4.36* Вычислите значение производной функции $y = (x + 1)^{10}$ в точке $x_0 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы вычислить значение производной функции $y = (x + 1)^{10}$ в точке $x_0 = 0$, сначала найдем производную $y'$ данной функции.

Эта функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Если $y = f(u(x))$, то ее производная равна $y' = f'(u) \cdot u'(x)$.

В нашем случае внешняя функция — это степенная функция $f(u) = u^{10}$, а внутренняя — линейная функция $u(x) = x + 1$.

1. Найдем производную внешней функции:

$f'(u) = (u^{10})' = 10 \cdot u^{10-1} = 10u^9$.

2. Найдем производную внутренней функции:

$u'(x) = (x + 1)' = (x)' + (1)' = 1 + 0 = 1$.

3. Перемножим результаты и подставим выражение для $u$:

$y' = f'(u(x)) \cdot u'(x) = 10(x + 1)^9 \cdot 1 = 10(x + 1)^9$.

Теперь, когда мы нашли производную, вычислим ее значение в точке $x_0 = 0$. Для этого подставим $x = 0$ в полученное выражение для $y'$:

$y'(0) = 10(0 + 1)^9 = 10 \cdot (1)^9 = 10 \cdot 1 = 10$.

Ответ: 10