Номер 4.31, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.31, страница 102.

Условие.

4.31 а) $y = x^4$;

б) $y = x^5$;

в) $y = x^6$;

г) $y = x^7$.

Указание. Представьте данную функцию в виде произведения двух функций.

Например, $(x^4)'=(x^3 \cdot x)'=(x^3)' \cdot x + x^3 \cdot (x)'=3x^2 \cdot x + x^3 \cdot 1 = 4x^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения данной задачи мы воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

а) $y = x^4$

Представим функцию в виде произведения $y = x^3 \cdot x$. Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = x$.

Найдём производные этих функций: $u' = (x^3)' = 3x^2$ и $v' = (x)' = 1$.

Теперь применим правило дифференцирования произведения:

$y' = (x^4)' = (x^3 \cdot x)' = (x^3)' \cdot x + x^3 \cdot (x)' = 3x^2 \cdot x + x^3 \cdot 1 = 3x^3 + x^3 = 4x^3$.

Ответ: $y' = 4x^3$.

б) $y = x^5$

Представим функцию в виде произведения $y = x^4 \cdot x$. Пусть $u(x) = x^4$ и $v(x) = x$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что производная $u' = (x^4)' = 4x^3$. Производная $v' = (x)' = 1$.

Применим правило дифференцирования произведения:

$y' = (x^5)' = (x^4 \cdot x)' = (x^4)' \cdot x + x^4 \cdot (x)' = 4x^3 \cdot x + x^4 \cdot 1 = 4x^4 + x^4 = 5x^4$.

Ответ: $y' = 5x^4$.

в) $y = x^6$

Представим функцию в виде произведения $y = x^5 \cdot x$. Пусть $u(x) = x^5$ и $v(x) = x$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что производная $u' = (x^5)' = 5x^4$. Производная $v' = (x)' = 1$.

Применим правило дифференцирования произведения:

$y' = (x^6)' = (x^5 \cdot x)' = (x^5)' \cdot x + x^5 \cdot (x)' = 5x^4 \cdot x + x^5 \cdot 1 = 5x^5 + x^5 = 6x^5$.

Ответ: $y' = 6x^5$.

г) $y = x^7$

Представим функцию в виде произведения $y = x^6 \cdot x$. Пусть $u(x) = x^6$ и $v(x) = x$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что производная $u' = (x^6)' = 6x^5$. Производная $v' = (x)' = 1$.

Применим правило дифференцирования произведения:

$y' = (x^7)' = (x^6 \cdot x)' = (x^6)' \cdot x + x^6 \cdot (x)' = 6x^5 \cdot x + x^6 \cdot 1 = 6x^6 + x^6 = 7x^6$.

Ответ: $y' = 7x^6$.