Номер 4.30, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.30, страница 102.

Условие.

В любой точке $x \in R$ найдите производную функции (4.30–4.31):

4.30 а) $y = (x^2 + 3x)(x - 1);$

б) $y = (x^2 - 8x)(x - 2);$

в) $y = (5x^2 - 3x + 2)(3x + 2);$

г) $y = (5x^2 + 3x + 2)(3x - 2);$

д) $y = (-x^2 + 2)(3x^2 + 2x);$

е) $y = (4x^2 + 6x - 1)(x^2 - 3).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для нахождения производной функции $y = (x^2 + 3x)(x - 1)$ воспользуемся правилом производной произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^2 + 3x$ и $v(x) = x - 1$.
Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (x^2 + 3x)' = 2x + 3$
$v'(x) = (x - 1)' = 1$
Теперь подставим найденные производные в формулу:
$y' = (2x + 3)(x - 1) + (x^2 + 3x) \cdot 1$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y' = (2x^2 - 2x + 3x - 3) + x^2 + 3x = 2x^2 + x - 3 + x^2 + 3x = 3x^2 + 4x - 3$.

Ответ: $3x^2 + 4x - 3$.

б)

Для нахождения производной функции $y = (x^2 - 8x)(x - 2)$ воспользуемся правилом производной произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^2 - 8x$ и $v(x) = x - 2$.
Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (x^2 - 8x)' = 2x - 8$
$v'(x) = (x - 2)' = 1$
Подставим производные в формулу:
$y' = (2x - 8)(x - 2) + (x^2 - 8x) \cdot 1$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y' = (2x^2 - 4x - 8x + 16) + x^2 - 8x = 2x^2 - 12x + 16 + x^2 - 8x = 3x^2 - 20x + 16$.

Ответ: $3x^2 - 20x + 16$.

в)

Дана функция $y = (5x^2 - 3x + 2)(3x + 2)$. Для нахождения ее производной используем правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Обозначим $u(x) = 5x^2 - 3x + 2$ и $v(x) = 3x + 2$.
Их производные равны:
$u'(x) = (5x^2 - 3x + 2)' = 10x - 3$
$v'(x) = (3x + 2)' = 3$
Подставляем в формулу:
$y' = (10x - 3)(3x + 2) + (5x^2 - 3x + 2) \cdot 3$
Раскрываем скобки и приводим подобные:
$y' = (30x^2 + 20x - 9x - 6) + (15x^2 - 9x + 6) = 30x^2 + 11x - 6 + 15x^2 - 9x + 6 = 45x^2 + 2x$.

Ответ: $45x^2 + 2x$.

г)

Дана функция $y = (5x^2 + 3x + 2)(3x - 2)$. Найдем ее производную, используя правило $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = 5x^2 + 3x + 2$ и $v(x) = 3x - 2$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (5x^2 + 3x + 2)' = 10x + 3$
$v'(x) = (3x - 2)' = 3$
Подставим в формулу производной произведения:
$y' = (10x + 3)(3x - 2) + (5x^2 + 3x + 2) \cdot 3$
Раскроем скобки и упростим:
$y' = (30x^2 - 20x + 9x - 6) + (15x^2 + 9x + 6) = 30x^2 - 11x - 6 + 15x^2 + 9x + 6 = 45x^2 - 2x$.

Ответ: $45x^2 - 2x$.

д)

Для функции $y = (-x^2 + 2)(3x^2 + 2x)$ найдем производную по правилу произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = -x^2 + 2$ и $v(x) = 3x^2 + 2x$.
Производные этих функций:
$u'(x) = (-x^2 + 2)' = -2x$
$v'(x) = (3x^2 + 2x)' = 6x + 2$
Подставляем в формулу:
$y' = (-2x)(3x^2 + 2x) + (-x^2 + 2)(6x + 2)$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$y' = (-6x^3 - 4x^2) + (-6x^3 - 2x^2 + 12x + 4) = -6x^3 - 4x^2 - 6x^3 - 2x^2 + 12x + 4 = -12x^3 - 6x^2 + 12x + 4$.

Ответ: $-12x^3 - 6x^2 + 12x + 4$.

е)

Для нахождения производной функции $y = (4x^2 + 6x - 1)(x^2 - 3)$ применяем правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = 4x^2 + 6x - 1$ и $v(x) = x^2 - 3$.
Найдем производные:
$u'(x) = (4x^2 + 6x - 1)' = 8x + 6$
$v'(x) = (x^2 - 3)' = 2x$
Подставим в формулу:
$y' = (8x + 6)(x^2 - 3) + (4x^2 + 6x - 1)(2x)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$y' = (8x^3 - 24x + 6x^2 - 18) + (8x^3 + 12x^2 - 2x) = 8x^3 + 6x^2 - 24x - 18 + 8x^3 + 12x^2 - 2x = 16x^3 + 18x^2 - 26x - 18$.

Ответ: $16x^3 + 18x^2 - 26x - 18$.