Номер 4.23, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.23, страница 100.

Условие.

4.23°

a) Сформулируйте теорему о непрерывности функции, имеющей производную в точке $x$.

б) Верно ли обратное утверждение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Сформулируйте теорему о непрерывности функции, имеющей производную в точке x.

Теорема: Если функция $y = f(x)$ имеет производную (дифференцируема) в точке $x_0$, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Пусть функция $f(x)$ имеет производную в точке $x_0$. Это означает, что существует конечный предел:
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Для доказательства непрерывности функции в точке $x_0$ необходимо показать, что предел функции приращения аргумента, стремящемся к нулю, равен значению функции в этой точке, то есть:
$\lim_{\Delta x \to 0} f(x_0 + \Delta x) = f(x_0)$
Это эквивалентно тому, что предел приращения функции $\Delta y$ равен нулю при $\Delta x \to 0$:
$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$, где $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Рассмотрим предел приращения функции $\Delta y$:
$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))$

Для $\Delta x \neq 0$ мы можем домножить и разделить выражение на $\Delta x$:
$\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \cdot \Delta x\right)$

Используя свойство предела произведения, получаем:
$\left(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\right) \cdot \left(\lim_{\Delta x \to 0} \Delta x\right)$

Первый множитель по определению равен производной $f'(x_0)$, а второй множитель равен нулю.
$f'(x_0) \cdot 0 = 0$

Таким образом, мы показали, что $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$, что и доказывает непрерывность функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Ответ: Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

б) Верно ли обратное утверждение?

Обратное утверждение звучит так: "Если функция непрерывна в точке $x_0$, то она дифференцируема в этой точке".

Это утверждение неверно. Непрерывность функции в точке является необходимым, но не достаточным условием для ее дифференцируемости в этой же точке. Существуют функции, которые непрерывны в точке, но не имеют в ней производной.

Контрпример:

Рассмотрим функцию $f(x) = |x|$ в точке $x_0 = 0$.

1. Проверим непрерывность в точке $x_0 = 0$.
Значение функции в точке: $f(0) = |0| = 0$.
Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} |x| = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$.
Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} |x| = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0$.
Так как предел слева, предел справа и значение функции в точке совпадают ($\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$), функция $f(x) = |x|$ непрерывна в точке $x_0=0$.

2. Проверим дифференцируемость в точке $x_0 = 0$.
Найдем производную по определению:
$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x| - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$.
Для существования этого предела необходимо, чтобы односторонние пределы были равны.
Предел слева (левая производная): $\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$.
Предел справа (правая производная): $\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$.
Поскольку левая и правая производные не равны ($-1 \neq 1$), предел не существует. Следовательно, функция $f(x) = |x|$ не имеет производной в точке $x_0=0$. График функции в этой точке имеет излом, что является геометрической иллюстрацией отсутствия касательной (и производной).

Ответ: Нет, обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но недифференцируемой в ней.