Номер 4.18, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.18, страница 98.

Условие.

Найдите производную функции в любой точке $x \in \mathbf{R}$, используя задание 4.12 (4.18–4.19):

4.18 а) $y = x^3 + x^2 + x;$

б) $y = x^3 - x^2 - x;$

в) $y = 5x^3;$

г) $y = -x^3;$

д) $y = 2x^3 - 3x^2 + x;$

е) $y = 3x^3 - 4x + 2;$

ж) $y = -x^3 + 5x^2 - 8x + 13;$

з) $y = ax^3 + bx^2 + cx + d.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для функции $y = x^3 + x^2 + x$ находим производную. Используем правило дифференцирования суммы функций, согласно которому производная суммы равна сумме производных:
$y' = (x^3 + x^2 + x)' = (x^3)' + (x^2)' + (x)'$.
Теперь применяем правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:
$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$
$(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$
$(x)' = (x^1)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$
Складывая результаты, получаем:
$y' = 3x^2 + 2x + 1$.
Ответ: $y' = 3x^2 + 2x + 1$.

б) Для функции $y = x^3 - x^2 - x$ находим производную. Используем правило дифференцирования разности функций:
$y' = (x^3 - x^2 - x)' = (x^3)' - (x^2)' - (x)'$.
Применяем правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$(x^3)' = 3x^2$
$(x^2)' = 2x$
$(x)' = 1$
Собирая все вместе, получаем:
$y' = 3x^2 - 2x - 1$.
Ответ: $y' = 3x^2 - 2x - 1$.

в) Для функции $y = 5x^3$ находим производную. Используем правило вынесения константы за знак производной $(cf(x))' = c \cdot f'(x)$:
$y' = (5x^3)' = 5 \cdot (x^3)'$.
Далее, находим производную степенной функции:
$(x^3)' = 3x^2$.
Перемножаем константу и производную:
$y' = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2$.
Ответ: $y' = 15x^2$.

г) Для функции $y = -x^3$ находим производную. Это эквивалентно $y = -1 \cdot x^3$. Выносим константу $-1$ за знак производной:
$y' = (-x^3)' = -1 \cdot (x^3)'$.
Находим производную степенной функции:
$(x^3)' = 3x^2$.
Получаем:
$y' = -1 \cdot 3x^2 = -3x^2$.
Ответ: $y' = -3x^2$.

д) Для функции $y = 2x^3 - 3x^2 + x$ находим производную, используя правила дифференцирования суммы/разности и вынесения константы:
$y' = (2x^3 - 3x^2 + x)' = (2x^3)' - (3x^2)' + (x)'$.
Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
$(2x^3)' = 2 \cdot (x^3)' = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$
$(3x^2)' = 3 \cdot (x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x$
$(x)' = 1$
Собираем все вместе:
$y' = 6x^2 - 6x + 1$.
Ответ: $y' = 6x^2 - 6x + 1$.

е) Для функции $y = 3x^3 - 4x + 2$ находим производную. Производная константы равна нулю.
$y' = (3x^3 - 4x + 2)' = (3x^3)' - (4x)' + (2)'$.
Дифференцируем каждое слагаемое:
$(3x^3)' = 3 \cdot (x^3)' = 3 \cdot 3x^2 = 9x^2$
$(4x)' = 4 \cdot (x)' = 4 \cdot 1 = 4$
$(2)' = 0$
Собираем все вместе:
$y' = 9x^2 - 4 + 0 = 9x^2 - 4$.
Ответ: $y' = 9x^2 - 4$.

ж) Для функции $y = -x^3 + 5x^2 - 8x + 13$ находим производную, применяя все основные правила дифференцирования:
$y' = (-x^3 + 5x^2 - 8x + 13)' = (-x^3)' + (5x^2)' - (8x)' + (13)'$.
Дифференцируем каждое слагаемое:
$(-x^3)' = -1 \cdot (x^3)' = -3x^2$
$(5x^2)' = 5 \cdot (x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x$
$(8x)' = 8 \cdot (x)' = 8 \cdot 1 = 8$
$(13)' = 0$
Собираем все вместе:
$y' = -3x^2 + 10x - 8 + 0 = -3x^2 + 10x - 8$.
Ответ: $y' = -3x^2 + 10x - 8$.

з) Для обобщенной функции $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, где $a, b, c, d$ — константы, находим производную:
$y' = (ax^3 + bx^2 + cx + d)' = (ax^3)' + (bx^2)' + (cx)' + (d)'$.
Дифференцируем каждое слагаемое, считая $a, b, c, d$ константами:
$(ax^3)' = a \cdot (x^3)' = a \cdot 3x^2 = 3ax^2$
$(bx^2)' = b \cdot (x^2)' = b \cdot 2x = 2bx$
$(cx)' = c \cdot (x)' = c \cdot 1 = c$
$(d)' = 0$ (производная константы)
Собираем все вместе:
$y' = 3ax^2 + 2bx + c + 0 = 3ax^2 + 2bx + c$.
Ответ: $y' = 3ax^2 + 2bx + c$.