Номер 4.15, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.15, страница 98.

Условие.

4.15 Сформулируйте теорему о производной:

а) суммы двух функций;

б) функции $f(x) = Au(x)$, где $A$ — данное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) суммы двух функций

Теорема о производной суммы двух функций (правило дифференцирования суммы) гласит: если функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в точке $x$, то их сумма $f(x) = u(x) + v(x)$ также дифференцируема в этой точке, и её производная равна сумме производных этих функций.

Формула производной суммы выглядит следующим образом:

$(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$

Доказательство:

Пусть $f(x) = u(x) + v(x)$. Согласно определению производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) + v(x + \Delta x)) - (u(x) + v(x))}{\Delta x}$

Сгруппируем слагаемые в числителе и, используя свойство предела суммы (предел суммы равен сумме пределов), разделим выражение на два предела:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}$

Поскольку по условию функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы, то первый предел равен $u'(x)$, а второй — $v'(x)$. Таким образом, мы получаем требуемую формулу:

$f'(x) = u'(x) + v'(x)$

Ответ: $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.

б) функции f(x) = Au(x), где A — данное число

Теорема о производной произведения функции на постоянный множитель утверждает, что если функция $u(x)$ дифференцируема в точке $x$, а $A$ — это постоянное число (константа), то функция $f(x) = A \cdot u(x)$ также дифференцируема в этой точке. При этом постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Формула для этого правила:

$(A \cdot u(x))' = A \cdot u'(x)$

Доказательство:

Пусть $f(x) = A \cdot u(x)$. По определению производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{A \cdot u(x + \Delta x) - A \cdot u(x)}{\Delta x}$

Вынесем общий множитель $A$ в числителе за скобки:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{A \cdot (u(x + \Delta x) - u(x))}{\Delta x}$

Так как $A$ является константой, мы можем вынести её за знак предела на основании свойств пределов:

$f'(x) = A \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x}$

Предел в правой части равенства по определению является производной функции $u(x)$. Следовательно:

$f'(x) = A \cdot u'(x)$

Ответ: $(A \cdot u(x))' = A \cdot u'(x)$.