Номер 4.8, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.8, страница 95.

Условие.

4.8 Выполните задание 4.7 для функции:

а) $f(x) = 3x + 8;$

б) $f(x) = 8x - 11;$

в) $f(x) = kx + b;$

г) $f(x) = x^2 - x + 5;$

д) $f(x) = x^2 + 3x - 1;$

е) $f(x) = ax^2 + bx + c.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Поскольку содержание задания 4.7 не предоставлено, будем считать, что оно заключается в нахождении производной для каждой функции, используя определение производной.

Производная функции $f(x)$ по определению вычисляется по формуле:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Применим эту формулу для каждой из данных функций.

а) $f(x) = 3x + 8$

1. Находим $f(x + \Delta x)$:

$f(x + \Delta x) = 3(x + \Delta x) + 8 = 3x + 3\Delta x + 8$

2. Находим приращение функции $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$(3x + 3\Delta x + 8) - (3x + 8) = 3x + 3\Delta x + 8 - 3x - 8 = 3\Delta x$

3. Составляем отношение приращений:

$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{3\Delta x}{\Delta x} = 3$

4. Находим предел при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 3 = 3$

Ответ: $f'(x) = 3$.

б) $f(x) = 8x - 11$

1. Находим $f(x + \Delta x)$:

$f(x + \Delta x) = 8(x + \Delta x) - 11 = 8x + 8\Delta x - 11$

2. Находим приращение функции $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$(8x + 8\Delta x - 11) - (8x - 11) = 8x + 8\Delta x - 11 - 8x + 11 = 8\Delta x$

3. Составляем отношение приращений:

$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{8\Delta x}{\Delta x} = 8$

4. Находим предел при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} 8 = 8$

Ответ: $f'(x) = 8$.

в) $f(x) = kx + b$

1. Находим $f(x + \Delta x)$:

$f(x + \Delta x) = k(x + \Delta x) + b = kx + k\Delta x + b$

2. Находим приращение функции $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$(kx + k\Delta x + b) - (kx + b) = kx + k\Delta x + b - kx - b = k\Delta x$

3. Составляем отношение приращений:

$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{k\Delta x}{\Delta x} = k$

4. Находим предел при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} k = k$

Ответ: $f'(x) = k$.

г) $f(x) = x^2 - x + 5$

1. Находим $f(x + \Delta x)$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 - (x + \Delta x) + 5 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x - \Delta x + 5$

2. Находим приращение функции $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x - \Delta x + 5) - (x^2 - x + 5) = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x$

3. Составляем отношение приращений:

$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x - 1)}{\Delta x} = 2x + \Delta x - 1$

4. Находим предел при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x - 1) = 2x - 1$

Ответ: $f'(x) = 2x - 1$.

д) $f(x) = x^2 + 3x - 1$

1. Находим $f(x + \Delta x)$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + 3(x + \Delta x) - 1 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 1$

2. Находим приращение функции $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 1) - (x^2 + 3x - 1) = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x$

3. Составляем отношение приращений:

$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x + 3)}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 3$

4. Находим предел при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 3) = 2x + 3$

Ответ: $f'(x) = 2x + 3$.

е) $f(x) = ax^2 + bx + c$

1. Находим $f(x + \Delta x)$:

$f(x + \Delta x) = a(x + \Delta x)^2 + b(x + \Delta x) + c = a(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + b(x + \Delta x) + c = ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 + bx + b\Delta x + c$

2. Находим приращение функции $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$(ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 + bx + b\Delta x + c) - (ax^2 + bx + c) = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 + b\Delta x$

3. Составляем отношение приращений:

$\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 + b\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2ax + a\Delta x + b)}{\Delta x} = 2ax + a\Delta x + b$

4. Находим предел при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2ax + a\Delta x + b) = 2ax + b$

Ответ: $f'(x) = 2ax + b$.