Номер 4.6, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.6, страница 95.

Условие.

4.6°

a) Что называют приращением аргумента; приращением функции; производной функции?

б) Как вычисляют производную функции в точке $x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Приращением аргумента называют разность между новым ("возмущенным") значением аргумента $x$ и его первоначальным значением $x_0$. Приращение аргумента обозначается символом $Δx$ (читается "дельта икс"). Таким образом, формула для приращения аргумента: $Δx = x - x_0$. Отсюда новое значение аргумента можно выразить через начальное и приращение: $x = x_0 + Δx$.

Приращением функции $y=f(x)$ называют разность между значением функции, соответствующим новому значению аргумента $f(x_0 + Δx)$, и первоначальным значением функции $f(x_0)$. Приращение функции обозначается символом $Δy$ (читается "дельта игрек") или $Δf(x_0)$. Формула для приращения функции: $Δy = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$.

Производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ называют предел отношения приращения функции $Δy$ к вызвавшему его приращению аргумента $Δx$, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Производная обозначается как $f'(x_0)$ или $y'(x_0)$. Определение производной в виде формулы: $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$. Если этот предел существует, то функцию называют дифференцируемой в точке $x_0$.

Ответ: Приращение аргумента $Δx$ – это разница между конечным и начальным значением аргумента. Приращение функции $Δy$ – это соответствующее изменение значения функции. Производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

б)

Чтобы вычислить производную функции $y = f(x)$ в произвольной точке $x$ из ее области определения, необходимо следовать общему правилу (алгоритму), основанному на определении производной:
1. Найти значение функции, соответствующее аргументу $x+\Delta x$, то есть $f(x + \Delta x)$.
2. Найти приращение функции: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$.
3. Составить отношение приращения функции к приращению аргумента: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.
4. Вычислить предел этого отношения при $\Delta x \to 0$.
Полученный в результате предел и является производной функции $f(x)$ в точке $x$: $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.
В практических задачах для нахождения производных чаще всего используют готовые формулы производных для элементарных функций и правила дифференцирования (например, производной суммы, произведения, частного и сложной функции).

Ответ: Производную функции в точке $x$ вычисляют, находя предел отношения приращения функции $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ к приращению аргумента $\Delta x$ при условии, что $\Delta x \to 0$.