Номер 3.21, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 3. Обратные функции - номер 3.21, страница 88.

Условие.

3.21* а) $y = \arcsin (\sin x)$;

в) $y = \arcsin (\text{tg } x)$;

д) $y = \arccos (\cos x)$;

ж) $y = \arccos (\text{tg } x)$;

и) $y = \text{arctg } (\text{tg } x)$;

л) $y = \text{arctg } (\sin x)$;

н) $y = \text{arcctg } (\text{ctg } x)$;

п) $y = \text{arcctg } (\sin x)$;

б) $y = \arcsin (\cos x)$;

г) $y = \arcsin (\text{ctg } x)$;

е) $y = \arccos (\sin x)$;

з) $y = \arccos (\text{ctg } x)$;

к) $y = \text{arctg } (\text{ctg } x)$;

м) $y = \text{arctg } (\cos x)$;

о) $y = \text{arcctg } (\text{tg } x)$;

р) $y = \text{arcctg } (\cos x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $y = \arcsin(\sin x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Область значений функции $y$ - это область значений арксинуса, то есть $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Тождество $\arcsin(\sin x) = x$ верно только при $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. В общем случае, используя периодичность синуса и его свойства ($\sin(\pi - x) = \sin x$), получаем кусочно-линейную функцию. Функция периодична с периодом $2\pi$. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ график совпадает с $y=x$, а на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ график совпадает с $y=\pi-x$.

Ответ: $y = \begin{cases} x - 2k\pi, & \text{если } x \in [-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi] \\ \pi - x + 2k\pi, & \text{если } x \in [\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi] \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \arcsin(\cos x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Область значений $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Используем формулу приведения $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$, получаем $y = \arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - x))$. Обозначив $t = \frac{\pi}{2} - x$, задача сводится к предыдущей: $y = \arcsin(\sin t)$. Также можно использовать тождество $\arcsin z + \arccos z = \frac{\pi}{2}$, откуда $y = \frac{\pi}{2} - \arccos(\cos x)$.

Ответ: $y = \begin{cases} \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi, & \text{если } x \in [2k\pi, (2k+1)\pi] \\ x - \frac{3\pi}{2} - 2(k-1)\pi, & \text{если } x \in [(2k-1)\pi, 2k\pi] \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это можно записать проще: $y = \frac{\pi}{2} - \arccos(\cos x)$.

в) $y = \arcsin(\tg x)$

Для существования функции необходимо, чтобы аргумент арксинуса принадлежал отрезку $[-1, 1]$. Таким образом, должно выполняться условие $|\tg x| \le 1$. Это неравенство справедливо для $x \in [-\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi]$ для любого целого $k$. Это и есть область определения функции. Область значений функции - это значения, которые принимает $\arcsin z$ при $z \in [-1, 1]$, то есть $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [-\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi]$. Область значений: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

г) $y = \arcsin(\ctg x)$

Аналогично предыдущему пункту, требуется выполнение условия $|\ctg x| \le 1$. Это неравенство справедливо для $x \in [\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{3\pi}{4} + k\pi]$ для любого целого $k$. Это область определения функции. Область значений функции, как и в пункте в), есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{3\pi}{4} + k\pi]$. Область значений: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

д) $y = \arccos(\cos x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Область значений функции - это область значений арккосинуса, то есть $y \in [0, \pi]$. Тождество $\arccos(\cos x) = x$ верно только при $x \in [0, \pi]$. Функция периодична с периодом $2\pi$. На отрезке $[0, \pi]$ график $y=x$, а на отрезке $[-\pi, 0]$ (или $[\pi, 2\pi]$) график $y=-x$ (или $y=2\pi-x$).

Ответ: $y = \begin{cases} x - 2k\pi, & \text{если } x \in [2k\pi, (2k+1)\pi] \\ (2k+2)\pi - x, & \text{если } x \in [(2k+1)\pi, (2k+2)\pi] \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

е) $y = \arccos(\sin x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Область значений $y \in [0, \pi]$. Используем формулу приведения $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$, получаем $y = \arccos(\cos(\frac{\pi}{2} - x))$. Обозначив $t = \frac{\pi}{2} - x$, задача сводится к предыдущей: $y = \arccos(\cos t)$. Также можно использовать тождество $\arcsin z + \arccos z = \frac{\pi}{2}$, откуда $y = \frac{\pi}{2} - \arcsin(\sin x)$.

Ответ: $y = \begin{cases} \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi, & \text{если } x \in [-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi] \\ x - \frac{\pi}{2} + 2k\pi, & \text{если } x \in [\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi] \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это можно записать проще: $y = \frac{\pi}{2} - \arcsin(\sin x)$.

ж) $y = \arccos(\tg x)$

Область определения функции задается условием $|\tg x| \le 1$, что, как и в пункте в), дает $x \in [-\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi]$ для $k \in \mathbb{Z}$. Область значений функции - это значения, которые принимает $\arccos z$ при $z \in [-1, 1]$, то есть $[0, \pi]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [-\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi]$. Область значений: $E(y) = [0, \pi]$.

з) $y = \arccos(\ctg x)$

Область определения функции задается условием $|\ctg x| \le 1$, что, как и в пункте г), дает $x \in [\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{3\pi}{4} + k\pi]$ для $k \in \mathbb{Z}$. Область значений функции - это значения, которые принимает $\arccos z$ при $z \in [-1, 1]$, то есть $[0, \pi]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{3\pi}{4} + k\pi]$. Область значений: $E(y) = [0, \pi]$.

и) $y = \arctg(\tg x)$

Функция определена везде, где определен $\tg x$, то есть при $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. Область значений функции - это область значений арктангенса, то есть $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Функция периодична с периодом $\pi$. Тождество $\arctg(\tg x)=x$ верно только при $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $y = x - k\pi$, при $x \in (-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

к) $y = \arctg(\ctg x)$

Функция определена везде, где определен $\ctg x$, то есть при $x \neq k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. Область значений $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Используя тождество $\arctg z + \arcctg z = \frac{\pi}{2}$, получаем $y = \frac{\pi}{2} - \arcctg(\ctg x)$. Выражение для $\arcctg(\ctg x)$ известно из пункта н).

Ответ: $y = \frac{\pi}{2} - (x - k\pi)$, при $x \in (k\pi, (k+1)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

л) $y = \arctg(\sin x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Поскольку $\sin x \in [-1, 1]$, а функция $\arctg z$ монотонно возрастает, область значений $y$ находится в пределах $[\arctg(-1), \arctg(1)]$, то есть $y \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений: $E(y) = [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.

м) $y = \arctg(\cos x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Поскольку $\cos x \in [-1, 1]$, а функция $\arctg z$ монотонно возрастает, область значений $y$ находится в пределах $[\arctg(-1), \arctg(1)]$, то есть $y \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений: $E(y) = [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.

н) $y = \arcctg(\ctg x)$

Функция определена везде, где определен $\ctg x$, то есть при $x \neq k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. Область значений функции - это область значений арккотангенса, то есть $y \in (0, \pi)$. Функция периодична с периодом $\pi$. Тождество $\arcctg(\ctg x)=x$ верно только при $x \in (0, \pi)$.

Ответ: $y = x - k\pi$, при $x \in (k\pi, (k+1)\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

о) $y = \arcctg(\tg x)$

Функция определена везде, где определен $\tg x$, то есть при $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$. Область значений $y \in (0, \pi)$. Используя тождество $\arctg z + \arcctg z = \frac{\pi}{2}$, получаем $y = \frac{\pi}{2} - \arctg(\tg x)$. Выражение для $\arctg(\tg x)$ известно из пункта и).

Ответ: $y = \frac{\pi}{2} - (x - k\pi)$, при $x \in (-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

п) $y = \arcctg(\sin x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Поскольку $\sin x \in [-1, 1]$, а функция $\arcctg z$ монотонно убывает, область значений $y$ находится в пределах $[\arcctg(1), \arcctg(-1)]$, то есть $y \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений: $E(y) = [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.

р) $y = \arcctg(\cos x)$

Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Поскольку $\cos x \in [-1, 1]$, а функция $\arcctg z$ монотонно убывает, область значений $y$ находится в пределах $[\arcctg(1), \arcctg(-1)]$, то есть $y \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.

Ответ: Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений: $E(y) = [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.