Номер 4.3, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.3, страница 94.

Условие.

4.3 Пусть точка движется прямолинейно по закону:

1) $s = 3t + 5$;

2) $s = t^2 - 6t$.

Найдите:

а) приращение пути $\Delta s$ на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$;

б) среднюю скорость на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$;

в) мгновенную скорость в момент времени $t$.

Для какого из указанных законов мгновенная скорость не зависит от времени и для какого зависит?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для закона движения 1) $s = 3t + 5$:

а) приращение пути $\Delta s$ на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$
Приращение пути $\Delta s$ определяется как разность между положением точки в конечный момент времени $t + \Delta t$ и начальный момент времени $t$. $s(t) = 3t + 5$.
$s(t + \Delta t) = 3(t + \Delta t) + 5 = 3t + 3\Delta t + 5$.
$\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t) = (3t + 3\Delta t + 5) - (3t + 5) = 3\Delta t$.
Ответ: $\Delta s = 3\Delta t$.

б) среднюю скорость на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$
Средняя скорость $v_{ср}$ — это отношение приращения пути $\Delta s$ к промежутку времени $\Delta t$.
$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$.
Используя результат из пункта а), получаем:
$v_{ср} = \frac{3\Delta t}{\Delta t} = 3$.
Ответ: $v_{ср} = 3$.

в) мгновенную скорость в момент времени $t$
Мгновенная скорость $v(t)$ — это производная пути по времени $s'(t)$ или предел средней скорости при $\Delta t \to 0$.
$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(3t + 5) = 3$.
Используя предел:
$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} 3 = 3$.
Ответ: $v(t) = 3$.

Для закона движения 2) $s = t^2 - 6t$:

а) приращение пути $\Delta s$ на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$
$s(t) = t^2 - 6t$.
$s(t + \Delta t) = (t + \Delta t)^2 - 6(t + \Delta t) = t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 - 6t - 6\Delta t$.
$\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t) = (t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 - 6t - 6\Delta t) - (t^2 - 6t) = 2t\Delta t + (\Delta t)^2 - 6\Delta t$.
Вынесем $\Delta t$ за скобки: $\Delta s = (2t - 6 + \Delta t)\Delta t$.
Ответ: $\Delta s = (2t - 6 + \Delta t)\Delta t$.

б) среднюю скорость на промежутке времени от $t$ до $t + \Delta t$
$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$.
Используя результат из пункта а), получаем:
$v_{ср} = \frac{(2t - 6 + \Delta t)\Delta t}{\Delta t} = 2t - 6 + \Delta t$.
Ответ: $v_{ср} = 2t - 6 + \Delta t$.

в) мгновенную скорость в момент времени $t$
$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 - 6t) = 2t - 6$.
Используя предел:
$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} (2t - 6 + \Delta t) = 2t - 6$.
Ответ: $v(t) = 2t - 6$.

Для какого из указанных законов мгновенная скорость не зависит от времени и для какого зависит?
Для первого закона движения $s = 3t + 5$ мгновенная скорость $v(t) = 3$ является константой, следовательно, она не зависит от времени $t$. Это характеризует равномерное прямолинейное движение.
Для второго закона движения $s = t^2 - 6t$ мгновенная скорость $v(t) = 2t - 6$ является функцией от времени $t$, следовательно, она зависит от времени. Это характеризует равноускоренное прямолинейное движение.