Номер 3.22, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 3. Обратные функции - номер 3.22, страница 89.

Условие.

3.22 Вычислите:

a) $\cos\left(\arccos\frac{4}{5} + \arccos\frac{12}{13} + \arccos\frac{3}{5}\right);$

б) $\sin\left(\arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{5}{13} + \arcsin\frac{4}{5}\right);$

в) $\text{ctg}\left(\text{arctg}\frac{1}{3} + \text{arctg}\frac{1}{4} + \text{arctg}\frac{2}{9}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Требуется вычислить значение выражения $\cos\left(\arccos\frac{4}{5} + \arccos\frac{12}{13} + \arccos\frac{3}{5}\right)$.

Сгруппируем слагаемые в аргументе косинуса: $\cos\left(\left(\arccos\frac{4}{5} + \arccos\frac{3}{5}\right) + \arccos\frac{12}{13}\right)$.

Рассмотрим сумму $\alpha + \beta$, где $\alpha = \arccos\frac{4}{5}$ и $\beta = \arccos\frac{3}{5}$. По определению арккосинуса, $\alpha, \beta \in [0, \pi]$. Так как аргументы $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{5}$ положительны, то $\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$.

Используем формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$. У нас есть $\cos(\alpha) = \frac{4}{5}$ и $\cos(\beta) = \frac{3}{5}$.

Найдем синусы этих углов. Так как $\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$, их синусы неотрицательны. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ следует $\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}$ для $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$.
$\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
$\sin(\beta) = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Подставим найденные значения в формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{25} - \frac{12}{25} = 0$.

Поскольку $\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$, их сумма $\alpha + \beta$ лежит в интервале $[0, \pi]$. Единственный угол в этом интервале, косинус которого равен нулю, это $\frac{\pi}{2}$. Следовательно, $\arccos\frac{4}{5} + \arccos\frac{3}{5} = \frac{\pi}{2}$.

Теперь исходное выражение упрощается до $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \arccos\frac{12}{13}\right)$.

Применяя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$, получаем: $-\sin\left(\arccos\frac{12}{13}\right)$.

Пусть $\gamma = \arccos\frac{12}{13}$. Тогда $\cos(\gamma) = \frac{12}{13}$ и $\gamma \in [0, \frac{\pi}{2}]$ (так как $\frac{12}{13} > 0$). Нам нужно найти $-\sin(\gamma)$. $\sin(\gamma) = \sqrt{1 - \cos^2(\gamma)} = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.

Итоговое значение выражения равно $-\frac{5}{13}$.

Ответ: $-\frac{5}{13}$.

б)

Требуется вычислить значение выражения $\sin\left(\arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{5}{13} + \arcsin\frac{4}{5}\right)$.

Сгруппируем слагаемые в аргументе синуса: $\sin\left(\left(\arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{4}{5}\right) + \arcsin\frac{5}{13}\right)$.

Рассмотрим сумму $\arcsin\frac{3}{5} + \arcsin\frac{4}{5}$. Воспользуемся тождеством $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$.

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{4}{5}$. Тогда $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ и, так как $\frac{4}{5} > 0$, $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$. Найдем $\cos(\alpha)$: $\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$. Так как $\cos(\alpha) = \frac{3}{5}$ и $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$, то $\alpha = \arccos\frac{3}{5}$. Таким образом, $\arcsin\frac{4}{5} = \arccos\frac{3}{5}$.

Сумма принимает вид: $\arcsin\frac{3}{5} + \arccos\frac{3}{5}$. По тождеству, эта сумма равна $\frac{\pi}{2}$.

Теперь исходное выражение упрощается до $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \arcsin\frac{5}{13}\right)$.

Применяя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x)$, получаем: $\cos\left(\arcsin\frac{5}{13}\right)$.

Пусть $\beta = \arcsin\frac{5}{13}$. Тогда $\sin(\beta) = \frac{5}{13}$ и $\beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$. Нам нужно найти $\cos(\beta)$. $\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Ответ: $\frac{12}{13}$.

в)

Требуется вычислить значение выражения $\operatorname{ctg}\left(\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \operatorname{arctg}\frac{1}{4} + \operatorname{arctg}\frac{2}{9}\right)$.

Воспользуемся свойством $\operatorname{ctg}(\theta) = \frac{1}{\operatorname{tg}(\theta)}$. Сначала найдем тангенс аргумента. Пусть $\alpha = \operatorname{arctg}\frac{1}{3}$, $\beta = \operatorname{arctg}\frac{1}{4}$ и $\gamma = \operatorname{arctg}\frac{2}{9}$. Тогда $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{1}{3}$, $\operatorname{tg}(\beta) = \frac{1}{4}$, $\operatorname{tg}(\gamma) = \frac{2}{9}$.

Сначала вычислим $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$ по формуле тангенса суммы $\operatorname{tg}(A+B) = \frac{\operatorname{tg}A + \operatorname{tg}B}{1 - \operatorname{tg}A \operatorname{tg}B}$:
$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{4+3}{12}}{1 - \frac{1}{12}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{11}{12}} = \frac{7}{11}$.

Теперь вычислим тангенс полной суммы $\operatorname{tg}((\alpha + \beta) + \gamma)$:
$\operatorname{tg}((\alpha + \beta) + \gamma) = \frac{\operatorname{tg}(\alpha + \beta) + \operatorname{tg}(\gamma)}{1 - \operatorname{tg}(\alpha + \beta) \operatorname{tg}(\gamma)} = \frac{\frac{7}{11} + \frac{2}{9}}{1 - \frac{7}{11} \cdot \frac{2}{9}}$.

Выполним вычисления:
$\frac{\frac{7 \cdot 9 + 2 \cdot 11}{99}}{1 - \frac{14}{99}} = \frac{\frac{63+22}{99}}{\frac{99-14}{99}} = \frac{\frac{85}{99}}{\frac{85}{99}} = 1$.

Мы нашли, что тангенс угла в скобках равен 1. Теперь найдем котангенс:
$\operatorname{ctg}\left(\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \operatorname{arctg}\frac{1}{4} + \operatorname{arctg}\frac{2}{9}\right) = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$.