Номер 4.7, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.7, страница 95.

Условие.

4.7 Дана функция $f(x) = x^2$.

а) Найдите производную в любой точке $x \in \mathbb{R}$.

б) Вычислите значение производной в точке $x = 0$; $x = 1$; $x = -1$; $x = 2$; $x = -2$; $x = 3$; $x = -3$.

в) При каком значении $x$ производная равна: 0; 1; 3?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Найдите производную в любой точке $x \in R$.

Для нахождения производной степенной функции $f(x) = x^n$ используется общая формула $(x^n)' = nx^{n-1}$.

В данном случае нам дана функция $f(x) = x^2$, где показатель степени $n=2$.

Применяя формулу, находим производную:

$f'(x) = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.

Эта производная определена для любого действительного числа $x$.

Ответ: $f'(x) = 2x$.

б) Вычислите значение производной в точке $x=0; x=1; x=-1; x=2; x=-2; x=3; x=-3$.

Используя найденную производную $f'(x) = 2x$, подставим в нее указанные значения $x$:

• При $x = 0$: $f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$.
• При $x = 1$: $f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$.
• При $x = -1$: $f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$.
• При $x = 2$: $f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
• При $x = -2$: $f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$.
• При $x = 3$: $f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$.
• При $x = -3$: $f'(-3) = 2 \cdot (-3) = -6$.

Ответ: $f'(0)=0$; $f'(1)=2$; $f'(-1)=-2$; $f'(2)=4$; $f'(-2)=-4$; $f'(3)=6$; $f'(-3)=-6$.

в) При каком значении $x$ производная равна: $0; 1; 3$?

Чтобы найти значения $x$, при которых производная $f'(x) = 2x$ принимает заданные значения, решим соответствующие уравнения:

• Производная равна 0:
  $f'(x) = 0$
  $2x = 0$
  $x = 0$
• Производная равна 1:
  $f'(x) = 1$
  $2x = 1$
  $x = \frac{1}{2}$
• Производная равна 3:
  $f'(x) = 3$
  $2x = 3$
  $x = \frac{3}{2}$

Ответ: производная равна 0 при $x=0$; производная равна 1 при $x=\frac{1}{2}$; производная равна 3 при $x=\frac{3}{2}$.