Номер 4.14, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.14, страница 96.

Условие.

4.14 В предыдущем задании найдите

значения $x$, при которых:

а) $f'(x) = 0$;

б) $f'(x) > 0$;

в) $f'(x) < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Поскольку данное задание 4.14 ссылается на предыдущее, которое не предоставлено, мы решим его для гипотетической функции, которая могла быть дана в предыдущем задании. Обычно в таких задачах рассматриваются многочлены. Предположим, что в предыдущем задании была дана функция $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5$.

Сначала необходимо найти производную этой функции, $f'(x)$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x + 5)' = 3x^2 - 2 \cdot 6x + 9 = 3x^2 - 12x + 9$.

Теперь мы можем найти значения $x$, при которых выполняются условия из задания, используя найденную производную.

а) $f'(x) = 0$

Нам нужно решить уравнение $f'(x) = 0$. Это позволит найти стационарные (критические) точки функции $f(x)$.

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Его можно решить, разложив левую часть на множители. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x - 1)(x - 3) = 0$

Отсюда получаем решения:

$x = 1$ или $x = 3$.

Ответ: $x = 1, x = 3$.

б) $f'(x) > 0$

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$. Это позволит найти интервалы, на которых функция $f(x)$ возрастает.

$3x^2 - 12x + 9 > 0$

Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = 1$ и $x = 3$. Значения функции $y$ положительны там, где график параболы находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, неравенство выполняется при $x < 1$ или $x > 3$.

Это можно записать в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

в) $f'(x) < 0$

Наконец, решим неравенство $f'(x) < 0$. Это позволит найти интервалы, на которых функция $f(x)$ убывает.

$3x^2 - 12x + 9 < 0$

Снова разделим на 3:

$x^2 - 4x + 3 < 0$

Рассматривая ту же параболу $y = x^2 - 4x + 3$, мы ищем значения $x$, при которых график находится ниже оси Ox. Это происходит между корнями параболы.

Следовательно, неравенство выполняется при $1 < x < 3$.

Это можно записать в виде интервала: $x \in (1; 3)$.

Ответ: $x \in (1; 3)$.