Номер 4.21, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.21, страница 98.

Условие.

4.21 Определите, при каких значениях $x$ производная функции:

а) $y = x^2 + 6x + 5$;

б) $y = x^3 + 3x^2 - 17$;

в) $y = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x - 15$;

г) $y = x^3 + 5x^2 - 13x + 7$

равна нулю; положительна; отрицательна.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для функции $y = x^2 + 6x + 5$.
Сначала найдем ее производную:
$y' = (x^2 + 6x + 5)' = 2x + 6$.
Теперь определим, при каких значениях $x$ производная равна нулю, положительна и отрицательна.
1. Производная равна нулю: $y' = 0$.
$2x + 6 = 0$
$2x = -6$
$x = -3$
2. Производная положительна: $y' > 0$.
$2x + 6 > 0$
$2x > -6$
$x > -3$
3. Производная отрицательна: $y' < 0$.
$2x + 6 < 0$
$2x < -6$
$x < -3$
Ответ: производная равна нулю при $x = -3$; положительна при $x \in (-3, +\infty)$; отрицательна при $x \in (-\infty, -3)$.

б) Для функции $y = x^3 + 3x^2 - 17$.
Сначала найдем ее производную:
$y' = (x^3 + 3x^2 - 17)' = 3x^2 + 6x$.
1. Производная равна нулю: $y' = 0$.
$3x^2 + 6x = 0$
$3x(x + 2) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -2$.
2. Производная положительна: $y' > 0$.
$3x^2 + 6x > 0$. Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх. Значения больше нуля будут вне интервала между корнями.
$x \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$.
3. Производная отрицательна: $y' < 0$.
$3x^2 + 6x < 0$. Значения меньше нуля будут внутри интервала между корнями.
$x \in (-2, 0)$.
Ответ: производная равна нулю при $x = -2$ и $x = 0$; положительна при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$; отрицательна при $x \in (-2, 0)$.

в) Для функции $y = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x - 15$.
Сначала найдем ее производную:
$y' = (\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x - 15)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x + 9 = x^2 - 6x + 9$.
Заметим, что это полный квадрат: $y' = (x - 3)^2$.
1. Производная равна нулю: $y' = 0$.
$(x - 3)^2 = 0$
$x - 3 = 0$
$x = 3$
2. Производная положительна: $y' > 0$.
$(x - 3)^2 > 0$. Квадрат любого числа, кроме нуля, является положительным. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = 3$.
$x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.
3. Производная отрицательна: $y' < 0$.
$(x - 3)^2 < 0$. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, решений нет.
Ответ: производная равна нулю при $x = 3$; положительна при $x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$; отрицательных значений производная не принимает.

г) Для функции $y = x^3 + 5x^2 - 13x + 7$.
Сначала найдем ее производную:
$y' = (x^3 + 5x^2 - 13x + 7)' = 3x^2 + 10x - 13$.
1. Производная равна нулю: $y' = 0$.
$3x^2 + 10x - 13 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-13) = 100 + 156 = 256 = 16^2$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 16}{6}$.
$x_1 = \frac{-10 - 16}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}$.
$x_2 = \frac{-10 + 16}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
2. Производная положительна: $y' > 0$.
$3x^2 + 10x - 13 > 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями.
$x \in (-\infty, -\frac{13}{3}) \cup (1, +\infty)$.
3. Производная отрицательна: $y' < 0$.
$3x^2 + 10x - 13 < 0$. Парабола отрицательна между корнями.
$x \in (-\frac{13}{3}, 1)$.
Ответ: производная равна нулю при $x = -\frac{13}{3}$ и $x = 1$; положительна при $x \in (-\infty, -\frac{13}{3}) \cup (1, +\infty)$; отрицательна при $x \in (-\frac{13}{3}, 1)$.