Номер 4.26, страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.26, страница 100.

Условие.

4.26 Найдите дифференциал функции:

а) $y = 3x + 5$; б) $y = x^2 + 2x + 4$; в) $y = x^3 - 5x + 11$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дифференциал функции $y = f(x)$ находится по формуле $dy = f'(x)dx$, где $f'(x)$ — производная функции, а $dx$ — дифференциал независимой переменной $x$. Для решения задачи необходимо найти производную для каждой функции и умножить ее на $dx$.

а) $y = 3x + 5$

1. Находим производную функции $y = 3x + 5$. Используем правило дифференцирования суммы и основные правила нахождения производных: $(u+v)' = u' + v'$, $(kx)' = k$ и $(C)' = 0$, где $k$ и $C$ — константы.

$y' = (3x + 5)' = (3x)' + (5)' = 3 + 0 = 3$.

2. Подставляем найденную производную в формулу дифференциала:

$dy = y' \cdot dx = 3 \cdot dx$.

Ответ: $dy = 3dx$.

б) $y = x^2 + 2x + 4$

1. Находим производную функции $y = x^2 + 2x + 4$. Используем те же правила, что и в пункте а), а также правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (x^2 + 2x + 4)' = (x^2)' + (2x)' + (4)'$.

Вычисляем производную каждого слагаемого:

$(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.
$(2x)' = 2$.
$(4)' = 0$.

Складываем результаты:

$y' = 2x + 2 + 0 = 2x + 2$.

2. Находим дифференциал:

$dy = y' \cdot dx = (2x + 2)dx$.

Ответ: $dy = (2x + 2)dx$.

в) $y = x^3 - 5x + 11$

1. Находим производную функции $y = x^3 - 5x + 11$, применяя те же правила дифференцирования.

$y' = (x^3 - 5x + 11)' = (x^3)' - (5x)' + (11)'$.

Вычисляем производную каждого слагаемого:

$(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.
$(5x)' = 5$.
$(11)' = 0$.

Собираем все вместе:

$y' = 3x^2 - 5 + 0 = 3x^2 - 5$.

2. Находим дифференциал:

$dy = y' \cdot dx = (3x^2 - 5)dx$.

Ответ: $dy = (3x^2 - 5)dx$.