Номер 4.33, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.33, страница 103.

Условие.

4.33 Найдите производную функции в любой точке x её области определения:

а) $y = \frac{1}{x}$;

б) $y = \frac{1}{x^2}$;

в) $y = \frac{1}{x+1}$;

г) $y = \frac{x+1}{x-1}$;

д) $y = \frac{x}{x^2+1}$;

е) $y = \frac{4-x^2}{x}$;

ж) $y = \frac{x^2+3x}{x+1}$;

з) $y = \frac{x^2+x-7}{x^2+1}$;

и) $y = \frac{-x^2+7x-8}{x^2-7x+5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = \frac{1}{x}$

Для нахождения производной представим функцию в виде степенной: $y = x^{-1}$. Применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$: $y' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2}$

б) $y = \frac{1}{x^2}$

Представим функцию в виде степенной: $y = x^{-2}$. Применяем формулу производной степенной функции: $y' = (x^{-2})' = -2 \cdot x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Ответ: $y' = -\frac{2}{x^3}$

в) $y = \frac{1}{x+1}$

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u=1$ и $v=x+1$. Производные числителя и знаменателя: $u' = (1)' = 0$, $v' = (x+1)' = 1$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{0 \cdot (x+1) - 1 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{(x+1)^2}$

г) $y = \frac{x+1}{x-1}$

Используем правило дифференцирования частного, где $u=x+1$ и $v=x-1$. Находим производные: $u' = (x+1)' = 1$, $v' = (x-1)' = 1$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{2}{(x-1)^2}$

д) $y = \frac{x}{x^2+1}$

Используем правило дифференцирования частного, где $u=x$ и $v=x^2+1$. Находим производные: $u' = (x)' = 1$, $v' = (x^2+1)' = 2x$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot (2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

е) $y = \frac{4-x^2}{x}$

Упростим функцию, разделив почленно числитель на знаменатель: $y = \frac{4}{x} - \frac{x^2}{x} = 4x^{-1} - x$. Теперь находим производную как разность производных: $y' = (4x^{-1})' - (x)' = 4(-1)x^{-1-1} - 1 = -4x^{-2} - 1 = -\frac{4}{x^2} - 1$. Приводя к общему знаменателю, получаем: $y' = \frac{-4-x^2}{x^2} = -\frac{x^2+4}{x^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{x^2+4}{x^2}$

ж) $y = \frac{x^2+3x}{x+1}$

Используем правило дифференцирования частного, где $u=x^2+3x$ и $v=x+1$. Находим производные: $u' = (x^2+3x)' = 2x+3$, $v' = (x+1)' = 1$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{(2x+3)(x+1) - (x^2+3x) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{(2x^2+2x+3x+3) - (x^2+3x)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2+5x+3 - x^2-3x}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x+3}{(x+1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{x^2+2x+3}{(x+1)^2}$

з) $y = \frac{x^2+x-7}{x^2+1}$

Используем правило дифференцирования частного, где $u=x^2+x-7$ и $v=x^2+1$. Находим производные: $u' = (x^2+x-7)' = 2x+1$, $v' = (x^2+1)' = 2x$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{(2x+1)(x^2+1) - (x^2+x-7)(2x)}{(x^2+1)^2}$. Раскроем скобки в числителе: $y' = \frac{(2x^3+2x+x^2+1) - (2x^3+2x^2-14x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3+x^2+2x+1 - 2x^3-2x^2+14x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2+16x+1}{(x^2+1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{-x^2+16x+1}{(x^2+1)^2}$

и) $y = \frac{-x^2+7x-8}{x^2-7x+5}$

Используем правило дифференцирования частного, где $u=-x^2+7x-8$ и $v=x^2-7x+5$. Находим производные: $u' = (-x^2+7x-8)' = -2x+7$, $v' = (x^2-7x+5)' = 2x-7$. Подставляем в формулу: $y' = \frac{(-2x+7)(x^2-7x+5) - (-x^2+7x-8)(2x-7)}{(x^2-7x+5)^2}$. Раскроем скобки в числителе: $u'v = (-2x+7)(x^2-7x+5) = -2x^3 + 14x^2 - 10x + 7x^2 - 49x + 35 = -2x^3 + 21x^2 - 59x + 35$. $uv' = (-x^2+7x-8)(2x-7) = -2x^3 + 7x^2 + 14x^2 - 49x - 16x + 56 = -2x^3 + 21x^2 - 65x + 56$. Вычитаем второе из первого: $u'v - uv' = (-2x^3 + 21x^2 - 59x + 35) - (-2x^3 + 21x^2 - 65x + 56) = -59x + 35 + 65x - 56 = 6x - 21$. Следовательно: $y' = \frac{6x-21}{(x^2-7x+5)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{6x-21}{(x^2-7x+5)^2}$