Номер 4.37, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.37, страница 106.

Условие.

4.37 Запишите формулу для нахождения производной функции:

а) $y = x^n$, $n \in \mathbb{N}$;

б) $y = x^{-n}$, $n \in \mathbb{N}$.

При каких значениях x справедлива эта формула?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для нахождения производной степенной функции $y = x^n$, где $n$ — натуральное число ($n \in N$), используется общая формула производной степенной функции: $(x^k)' = kx^{k-1}$. В данном случае показатель степени $k=n$.

Подставляя $n$ в эту формулу, получаем:

$y' = (x^n)' = nx^{n-1}$

Эта формула справедлива для всех значений $x$, при которых и исходная функция, и ее производная существуют. Поскольку при натуральном $n$ функция $y = x^n$ является многочленом (например, $x, x^2, x^3, \dots$), она определена и дифференцируема на всей числовой оси. Ее производная $y' = nx^{n-1}$ также является многочленом (или константой при $n=1$), который определен для любого действительного $x$.

Ответ: Формула для производной: $(x^n)' = nx^{n-1}$. Формула справедлива при любых значениях $x$, то есть для $x \in R$.

б) Для функции $y = x^{-n}$, где $n \in N$, мы также применяем общую формулу производной степенной функции $(x^k)' = kx^{k-1}$, но теперь показатель степени $k = -n$.

Подставляя $-n$ в формулу, получаем:

$y' = (x^{-n})' = (-n)x^{-n-1} = -nx^{-(n+1)}$

Теперь определим, при каких значениях $x$ эта формула справедлива. Исходную функцию можно записать как $y = \frac{1}{x^n}$. Так как $n$ — натуральное число, знаменатель $x^n$ равен нулю при $x=0$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме нуля. Производная $y' = -nx^{-(n+1)}$ также может быть записана в виде дроби $y' = -\frac{n}{x^{n+1}}$. Знаменатель производной $x^{n+1}$ также обращается в ноль при $x=0$. Следовательно, и функция, и ее производная существуют только при $x \neq 0$.

Ответ: Формула для производной: $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$. Формула справедлива при всех значениях $x \neq 0$.