Номер 4.41, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.41, страница 107.

Условие.

4.41 a) $y = \frac{1}{x^{21}};$

б) $y = \frac{2}{x^{25}};$

В) $y = -\frac{5}{x^{20}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения производных данных функций мы будем использовать правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ и свойство вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$. Для этого сначала представим каждую функцию в виде $y = c \cdot x^n$.

а)

Дана функция $y = \frac{1}{x^{21}}$.

Представим ее в виде степенной функции с отрицательным показателем:

$y = x^{-21}$

Теперь найдем ее производную по формуле для степенной функции, где $n = -21$:

$y' = (x^{-21})' = -21 \cdot x^{-21-1} = -21x^{-22}$

Запишем результат в виде дроби с положительным показателем степени в знаменателе:

$y' = -\frac{21}{x^{22}}$

Ответ: $y' = -\frac{21}{x^{22}}$

б)

Дана функция $y = \frac{2}{x^{25}}$.

Представим ее в виде $y = 2 \cdot x^{-25}$.

Применяем правило дифференцирования и находим производную. Здесь $c = 2$, $n = -25$:

$y' = (2x^{-25})' = 2 \cdot (x^{-25})' = 2 \cdot (-25 \cdot x^{-25-1}) = -50x^{-26}$

Переведем результат в дробный вид:

$y' = -\frac{50}{x^{26}}$

Ответ: $y' = -\frac{50}{x^{26}}$

в)

Дана функция $y = -\frac{5}{x^{20}}$.

Представим ее в виде $y = -5 \cdot x^{-20}$.

Находим производную. Здесь $c = -5$, $n = -20$:

$y' = (-5x^{-20})' = -5 \cdot (x^{-20})' = -5 \cdot (-20 \cdot x^{-20-1}) = 100x^{-21}$

Запишем ответ в виде дроби:

$y' = \frac{100}{x^{21}}$

Ответ: $y' = \frac{100}{x^{21}}$