Номер 4.45, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 4. Производная - номер 4.45, страница 107.

Условие.

4.45 a) $f(x) = \log_2 x$;

Б) $f(x) = \lg x$;

В) $f(x) = 4 \log_2 x + 3 \ln x - 2 \lg x$;

Г) $f(x) = 5 \log_3 x - 6 \ln x + 7 \lg x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Поскольку в задании не указано, что именно нужно сделать с функциями, наиболее вероятной задачей является нахождение их производных. Для решения нам понадобится формула производной логарифмической функции: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. Частным случаем этой формулы является производная натурального логарифма: $(\ln x)' = (\log_e x)' = \frac{1}{x \ln e} = \frac{1}{x}$.

а)

Дана функция $f(x) = \log_2 x$.

Для нахождения производной $f'(x)$ используем формулу производной логарифма с основанием $a=2$:

$f'(x) = (\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x \ln 2}$.

б)

Дана функция $f(x) = \lg x$.

Здесь $\lg x$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $f(x) = \log_{10} x$.

Используем формулу производной логарифма с основанием $a=10$:

$f'(x) = (\log_{10} x)' = \frac{1}{x \ln 10}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x \ln 10}$.

в)

Дана функция $f(x) = 4\log_2 x + 3\ln x - 2\lg x$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы функций (производная суммы равна сумме производных) и правило вынесения константы за знак производной:

$f'(x) = (4\log_2 x + 3\ln x - 2\lg x)' = (4\log_2 x)' + (3\ln x)' - (2\lg x)' = 4(\log_2 x)' + 3(\ln x)' - 2(\lg x)'$.

Подставим известные нам производные:

$(\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

$(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$

Получаем:

$f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{x \ln 2} + 3 \cdot \frac{1}{x} - 2 \cdot \frac{1}{x \ln 10} = \frac{4}{x \ln 2} + \frac{3}{x} - \frac{2}{x \ln 10}$.

Можно вынести общий множитель $\frac{1}{x}$ за скобки:

$f'(x) = \frac{1}{x} \left( \frac{4}{\ln 2} + 3 - \frac{2}{\ln 10} \right)$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4}{x \ln 2} + \frac{3}{x} - \frac{2}{x \ln 10}$.

г)

Дана функция $f(x) = 5\log_3 x - 6\ln x + 7\lg x$.

Действуем аналогично предыдущему пункту. Дифференцируем функцию почленно:

$f'(x) = (5\log_3 x - 6\ln x + 7\lg x)' = 5(\log_3 x)' - 6(\ln x)' + 7(\lg x)'$.

Находим производные для каждого слагаемого:

$(\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

$(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$

Подставляем их в выражение для производной:

$f'(x) = 5 \cdot \frac{1}{x \ln 3} - 6 \cdot \frac{1}{x} + 7 \cdot \frac{1}{x \ln 10} = \frac{5}{x \ln 3} - \frac{6}{x} + \frac{7}{x \ln 10}$.

Также можно вынести общий множитель $\frac{1}{x}$ за скобки:

$f'(x) = \frac{1}{x} \left( \frac{5}{\ln 3} - 6 + \frac{7}{\ln 10} \right)$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5}{x \ln 3} - \frac{6}{x} + \frac{7}{x \ln 10}$.