Номер 4.45, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.45, страница 107.
№4.45 (с. 107)
Условие. №4.45 (с. 107)
скриншот условия

4.45 a) $f(x) = \log_2 x$;
Б) $f(x) = \lg x$;
В) $f(x) = 4 \log_2 x + 3 \ln x - 2 \lg x$;
Г) $f(x) = 5 \log_3 x - 6 \ln x + 7 \lg x$.
Решение 1. №4.45 (с. 107)




Решение 2. №4.45 (с. 107)

Решение 3. №4.45 (с. 107)

Решение 4. №4.45 (с. 107)
Поскольку в задании не указано, что именно нужно сделать с функциями, наиболее вероятной задачей является нахождение их производных. Для решения нам понадобится формула производной логарифмической функции: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. Частным случаем этой формулы является производная натурального логарифма: $(\ln x)' = (\log_e x)' = \frac{1}{x \ln e} = \frac{1}{x}$.
а)
Дана функция $f(x) = \log_2 x$.
Для нахождения производной $f'(x)$ используем формулу производной логарифма с основанием $a=2$:
$f'(x) = (\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x \ln 2}$.
б)
Дана функция $f(x) = \lg x$.
Здесь $\lg x$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $f(x) = \log_{10} x$.
Используем формулу производной логарифма с основанием $a=10$:
$f'(x) = (\log_{10} x)' = \frac{1}{x \ln 10}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x \ln 10}$.
в)
Дана функция $f(x) = 4\log_2 x + 3\ln x - 2\lg x$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы функций (производная суммы равна сумме производных) и правило вынесения константы за знак производной:
$f'(x) = (4\log_2 x + 3\ln x - 2\lg x)' = (4\log_2 x)' + (3\ln x)' - (2\lg x)' = 4(\log_2 x)' + 3(\ln x)' - 2(\lg x)'$.
Подставим известные нам производные:
$(\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$
$(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$
Получаем:
$f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{x \ln 2} + 3 \cdot \frac{1}{x} - 2 \cdot \frac{1}{x \ln 10} = \frac{4}{x \ln 2} + \frac{3}{x} - \frac{2}{x \ln 10}$.
Можно вынести общий множитель $\frac{1}{x}$ за скобки:
$f'(x) = \frac{1}{x} \left( \frac{4}{\ln 2} + 3 - \frac{2}{\ln 10} \right)$.
Ответ: $f'(x) = \frac{4}{x \ln 2} + \frac{3}{x} - \frac{2}{x \ln 10}$.
г)
Дана функция $f(x) = 5\log_3 x - 6\ln x + 7\lg x$.
Действуем аналогично предыдущему пункту. Дифференцируем функцию почленно:
$f'(x) = (5\log_3 x - 6\ln x + 7\lg x)' = 5(\log_3 x)' - 6(\ln x)' + 7(\lg x)'$.
Находим производные для каждого слагаемого:
$(\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$
$(\lg x)' = \frac{1}{x \ln 10}$
Подставляем их в выражение для производной:
$f'(x) = 5 \cdot \frac{1}{x \ln 3} - 6 \cdot \frac{1}{x} + 7 \cdot \frac{1}{x \ln 10} = \frac{5}{x \ln 3} - \frac{6}{x} + \frac{7}{x \ln 10}$.
Также можно вынести общий множитель $\frac{1}{x}$ за скобки:
$f'(x) = \frac{1}{x} \left( \frac{5}{\ln 3} - 6 + \frac{7}{\ln 10} \right)$.
Ответ: $f'(x) = \frac{5}{x \ln 3} - \frac{6}{x} + \frac{7}{x \ln 10}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4.45 расположенного на странице 107 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.45 (с. 107), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.