Номер 4.48, страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 4. Производная. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 4.48, страница 107.

Условие.

Укажите, при каких значениях x функция f(x) имеет производную, и найдите эту производную, если (4.48–4.49):

4.48 a) $f(x) = x^{12} + 12^x$;

б) $f(x) = x^{20} - 3 \sin x$;

в) $f(x) = \ln x - \cos x$;

г) $f(x) = \log_4 x + x^{-2}$;

д) $f(x) = x^{12} \cdot 12^x$;

е) $f(x) = x^{25} \cdot 4 \cos x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Функция $f(x) = x^{12} + 12^x$ представляет собой сумму степенной функции $x^{12}$ и показательной функции $12^x$. Обе эти функции определены и дифференцируемы на всей числовой прямой. Следовательно, их сумма также дифференцируема для всех действительных чисел $x$. Функция имеет производную при $x \in \mathbb{R}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$, а также формулы производных для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$.

$f'(x) = (x^{12} + 12^x)' = (x^{12})' + (12^x)' = 12x^{11} + 12^x \ln 12$.

Ответ: производная существует при $x \in \mathbb{R}$ и равна $f'(x) = 12x^{11} + 12^x \ln 12$.

б)

Функция $f(x) = x^{20} - 3 \sin x$ является разностью степенной функции $x^{20}$ и тригонометрической функции $3 \sin x$. Обе функции определены и дифференцируемы для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, их разность также дифференцируема при всех $x \in \mathbb{R}$.

Используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$ и правило для константы $(cu)' = c \cdot u'$. Производная степенной функции: $(x^{20})' = 20x^{19}$. Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.

$f'(x) = (x^{20} - 3 \sin x)' = (x^{20})' - 3(\sin x)' = 20x^{19} - 3 \cos x$.

Ответ: производная существует при $x \in \mathbb{R}$ и равна $f'(x) = 20x^{19} - 3 \cos x$.

в)

Функция $f(x) = \ln x - \cos x$ является разностью функции натурального логарифма $\ln x$ и функции косинуса $\cos x$. Функция $\ln x$ определена и дифференцируема только для положительных значений $x > 0$. Функция $\cos x$ дифференцируема для всех $x \in \mathbb{R}$. Чтобы функция $f(x)$ имела производную, необходимо, чтобы обе ее составляющие были дифференцируемы, что выполняется при $x > 0$.

Используем правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$. Производная натурального логарифма: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.

$f'(x) = (\ln x - \cos x)' = (\ln x)' - (\cos x)' = \frac{1}{x} - (-\sin x) = \frac{1}{x} + \sin x$.

Ответ: производная существует при $x > 0$ и равна $f'(x) = \frac{1}{x} + \sin x$.

г)

Функция $f(x) = \log_4 x + x^{-2}$ является суммой логарифмической функции $\log_4 x$ и степенной функции $x^{-2}$. Функция $\log_4 x$ определена и дифференцируема при $x > 0$. Функция $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ определена и дифференцируема для всех $x \neq 0$. Область дифференцируемости функции $f(x)$ является пересечением областей дифференцируемости ее слагаемых, то есть $x > 0$.

Используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$. Производная логарифмической функции: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$f'(x) = (\log_4 x + x^{-2})' = (\log_4 x)' + (x^{-2})' = \frac{1}{x \ln 4} + (-2)x^{-3} = \frac{1}{x \ln 4} - \frac{2}{x^3}$.

Ответ: производная существует при $x > 0$ и равна $f'(x) = \frac{1}{x \ln 4} - \frac{2}{x^3}$.

д)

Функция $f(x) = x^{12} \cdot 12^x$ является произведением степенной функции $x^{12}$ и показательной функции $12^x$. Обе функции дифференцируемы на всей числовой прямой ($x \in \mathbb{R}$), поэтому их произведение также дифференцируемо для всех $x \in \mathbb{R}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^{12}$ и $v(x) = 12^x$. Тогда их производные: $u'(x) = 12x^{11}$ и $v'(x) = 12^x \ln 12$.

$f'(x) = (x^{12})' \cdot 12^x + x^{12} \cdot (12^x)' = 12x^{11} \cdot 12^x + x^{12} \cdot 12^x \ln 12$.

Вынесем общий множитель $x^{11} \cdot 12^x$ за скобки: $f'(x) = x^{11} \cdot 12^x(12 + x \ln 12)$.

Ответ: производная существует при $x \in \mathbb{R}$ и равна $f'(x) = x^{11} \cdot 12^x(12 + x \ln 12)$.

е)

Функция $f(x) = x^{25} \cdot 4 \cos x$ является произведением степенной функции $x^{25}$ и тригонометрической функции $4 \cos x$. Обе функции дифференцируемы для всех $x \in \mathbb{R}$, следовательно, их произведение также дифференцируемо для всех $x \in \mathbb{R}$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и вынесение константы за знак производной. $f'(x) = 4(x^{25} \cos x)'$.

Пусть $u(x) = x^{25}$ и $v(x) = \cos x$. Тогда $u'(x) = 25x^{24}$ и $v'(x) = -\sin x$.

$f'(x) = 4((x^{25})' \cos x + x^{25}(\cos x)') = 4(25x^{24}\cos x + x^{25}(-\sin x)) = 4(25x^{24}\cos x - x^{25}\sin x)$.

Вынесем общий множитель $x^{24}$ за скобки: $f'(x) = 4x^{24}(25\cos x - x\sin x)$.

Ответ: производная существует при $x \in \mathbb{R}$ и равна $f'(x) = 4x^{24}(25\cos x - x\sin x)$.